Тройной интеграл и его механический смысл. Теорема существования кратных интегралов

Пусть в области с границей в пространстве задана функция где – любая точка области (рис. 131). Разобьем область на частей, объёмы которых и сами области обозначим Внутри области возьмём произвольную точку и вычислим в ней значение заданной функции, т. е. найдём Это значение умножим на – объём -й части. Подобную операцию проделаем со всеми частями, на которые разбили область и, сложив все произведения, получим интегральную сумму для заданной функции и области ее задания: Пусть, как и раньше, – диаметр области т. е. наибольшее расстояние между точками границы области и есть наибольший из всех диаметров частичных областей области.

Если существует конечный предел вышеуказанной интегральной суммы при , и он не зависит ни от способа разбиения области , ни от выбора точек , то этот предел называют тройным интегралом по области от функции и обозначают Итак,

(7)

Здесь называется элементом объёма, а остальные термины называют так же, как и в случае двойного интеграла. Поскольку область интегрирования расположена в системе , принято .

Отметим частный случай. Формула (7), когда всюду в области , даёт – величину объёма области интегрирования В самом деле, в этом случае правая часть формулы (7) под знаком предела содержит сумму всех объёмов частичных областей. Ясно, что эта сумма будет равна объёму области, и предел этого объёма тоже будет равен

Рассмотрим механический смысл тройного интеграла. Пусть область сплошь заполнена веществом и – масса вещества, заключённого внутри объёма содержащего внутри себя точку Тогда предел когда и стягивается в точку , называется плотностью вещества в точке Пусть вещество внутри объёма распределено неравномерно, и в каждой точке плотность равна Пусть функция характеризующая распределение плотности по телу, известна всюду в области Требуется найти – массу вещества, заключённого в объёме (массу тела ).

Область разобьем на частей объёмами Внутри области (см. рис. 131) возьмём произвольную точку и найдём в ней значение заданной плотности, т. е. значение В силу малости части приближенно можно считать, что внутри плотность остаётся постоянной и равной Умножив эту плотность на объём , найдём приближенно массу вещества внутри Это проделаем со всеми частями, на которые разбили область Сложив, приближенно найдем искомую массу Ясно, что для нахождения точного значения здесь в правой части нужно взять предел, когда и Итак, Но согласно формуле (7) предел правой части последней формулы равен тройному интегралу по области от функции Таким образом, масса определяется формулой

Теорема (о существовании двойного (тройного) интеграла). Если функция непрерывна в области и на её границе, то существует конечный предел интегральной суммы для этой функции и области, в которой она задана, когда число делений и При э том предел не зависит ни от способа разбиения области, ни от выбора точек