Переход в двойном интеграле к полярным координатам

В качестве примера замены переменных в двойном интеграле рассмотрим переход в двойном интеграле к полярным координатам. Пусть в декартовой системе координат задана область ограниченная кривой В плоскости кроме декартовой введём полярную систему координат, поместив полюс в точку и направив полярную ось по в положительном направлении (рис. 138). Пусть – декартовы координаты точки области а и – полярные координаты этой точки. Как видно из рис. 138,

. (15)

Пусть граница области задана уравнениями в полярных координатах, а именно, участок кривой задан уравнением , а участок кривой – уравнением . Отметим, что уравнение определяет ось а уравнение – ось Отметим также, что при фиксированном есть расстояние а – расстояние Введем ещё одну декартову систему . В этой системе уже декартовы координаты точки плоскости , в то время как в плоскости они являются полярными координатами соответствующей точки. По формулам (15) каждой точке области будет отвечать точка области в плоскости , и тем самым в этой плоскости получим область с границей в которую переходит область плоскости (согласно формулам (15)). Уравнения и в плоскости определяют прямые, параллельные оси Между этими прямыми расположена область Ясно, что участку кривой с уравнением отвечает участок кривой с тем же уравнением Кривой отвечает часть кривой с уравнением Для функций (15) вычислим определитель Якоби (13), положив в нём

Таким образом,

Запишем формулу (14) для нашего случая (когда вместо функций (12) берутся функции (15)):

(16)

Это есть формула перехода в двойном интеграле к полярным координатам, здесь – область в декартовой системе . Теперь двойной интеграл по этой области выразим через двукратный, использовав формулу (10). Получим

(17)

Формула (17) справедлива и тогда, когда граница области имеет участки, лежащие на прямых т. е. когда область имеет вид, представленный на рис. 140. Если в последнем случае то область принимает вид сектора (рис. 141). Для этого сектора в формуле (17) нужно взять

Пусть в последнем случае а , при этом область имеет вид, изображенный на рис. 142. Для этой области в формуле (17) нужно взять ,

Пусть в последнем случае тогда область имеет форму круга с центром в начале координат и радиусом (рис. 143). Из сказанного выше ясно, что для этого круга в формуле (17) мы должны взять , Поэтому на практике при вычислении двойного интеграла по области в виде круга лучше перейти к полярным координатам указанным выше способом.