Несобственные интегралы от разрывных функций

Пусть функция непрерывна в интервале и в точке имеет разрыв, причем Пусть – малая положительная величина и Тогда функция не-прерывна в интервале Рис. 128 поэтому существует определённый интеграл Он изменяется, когда изменяется Предел этого интеграла при называется несобственным интегралом от функции в интервале и обозначается как обычный определённый интеграл Если предел правой части существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если указанный предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Пусть теперь функция имеет разрыв в точке и непрерывна в интервале Тогда по аналогии введем понятие несобственного интеграла для этого случая:

Отметим наконец, что если функция внутри интервала имеет конечное число точек разрыва первого рода, то под интегралом будем понимать сумму интегралов, взятых по всем интервалам непрерывности функции . Например, если – единственная точка разрыва, то

В этом случае понятие несобственного интеграла вводим так:

(2)

Пример. Вычислить интеграл Подинтегральная функция терпит разрыв в точке При она стремится к бесконечности, поэтому по формуле Рис. 129 (2) имеем

Интеграл расходится.

Замечание. Если бы мы упустили из виду, что рассматриваемый интеграл является несобственным, из–за того, что подинтегральная функция обращается в бесконечность в точке интервала интегрирования и формально применили бы для вычисления интеграла формулу Ньютона–Лейбница, пригодную только для непрерывных функций, то получили бы неверный результат.