Замена переменных в двойном интеграле

В декартовой системе координат на плоскости дана область , ограниченная кривой , и – некоторая точка этой области (рис. 136). Пусть – другая декартова система координат, в ней – область, ограниченная кривой и – некоторая точка области (рис. 137). Пусть заданы две функции

(12)

которые будем считать непрерывными и имеющими непрерывные частные производные первого порядка как по так и по всюду в области Предположим, что функции (12) таковы, что каждой точке

Рис. 136 Рис. 137

области они ставят в соответствие определённую точку области (зная координаты точки , по формулам (12) найдем координаты соответствующей точки области ). И наоборот, каждой точке области отвечает определённая точка с координатами области (зная координаты точки , из соотношений (12) найдем координаты соответствующей точки области ). В этом случае говорят, что формулы (12) устанавливают взаимнооднозначное соответствие между точками области с одной стороны и точками области с другой. Или ещё говорят, что эти функции отображают область на область От функций (12) вычислим частные производные по и и образуем определитель из найденных частных производных, обозначаемый и равный

. (13)

Он называется определителем Якоби для функций (12).

Без доказательства запишем формулу замены переменных в двойном интеграле:

(14)

Таким образом, при замене переменных по формулам (12) в двойном интеграле по области мы должны переменные интегрирования заменить соответственно на а элемент площади – на (причём двойной интеграл в правой части берётся по новой области ).