Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Пусть функция непрерывна всюду в интервале и – произвольная точка указанного интервала. Тогда функция непрерывна в интервале следовательно, согласно теореме 1 главы 12 существует определённый интеграл Предел этого интеграла, когда называется несобственным интегралом от функции с верхним бесконечным пределом и обозначается Итак,

(1)

Если в последней формуле предел правой части существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл левой части сходится. Если этот предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Совершенно аналогично определяется несобственный интеграл с нижним бесконечным пределом:

Вполне понятно, что эта формула справедлива, когда функция определена и непрерывна в интервале Таким же способом вводится понятие несобственного интеграла с двумя бесконечными пределами: пусть функция определена и непрерывна в любой конечной части интервала тогда

Пример. Вычислим несобственный интеграл

По формуле (1) имеем

Итак, предел правой части существует и равен следовательно, рассматриваемый несобственный интеграл сходится и равен