![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Бинарное отношение α, определенное на множестве А, называется отношением эквивалентности на множестве А, если α:
- рефлексивно,
- симметрично,
- транзитивно.
Определение 2. Пусть σ — отношение эквивалентности на множестве А, и пусть .
Множество всех таких элементов , что х σ а истинно, называют смежным классом множества А по эквивалентности σ, или классом эквивалентности, и обозначают [ а ] σ.
Теорема:
Свойство I: .
Свойство II: если a σ b, то [ а ] = [ b ].
Лемма. Любые два смежных класса множества А по эквивалентности σ либо не пересекаются, либо совпадают.
Определение 3. Совокупность всех различных смежных классов множества А по эквивалентности σ называется фактор-множеством множества А по эквивалентности σ и обозначается А /σ.
Определение 4. Разбиением (или расслоением) множества А называется система S непустых подмножеств множества А таких, что каждый элемент из А принадлежит одному и только одному подмножеству из системы S.
Теорема. Если σ — отношение эквивалентности на множестве А, то совокупность всех различных смежных классов множества А по эквивалентности σ является разбиением множества А.
Обратная теорема. Пусть S — разбиение множества А, а σ — бинарное отношение на множестве А такое, что, х σ у истинно тогда и только тогда, когда в S есть подмножество М, для которого ,
. Тогда σ — отношение эквивалентности на множестве А. Эта эквивалентность σ называется эквивалентностью, отвечающей разбиению S.
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 230 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!