Свойства функций непрерывных на отрезке

Т е о р е м а 20. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Геометрическое истолкование. Эта теорема утверждает, что на отрезке [ a; b ] найдутся такие точки х ₁, х ₂, что значение функции f (x) в этих точках является f (x ₁) – наименьшим, f (x ₂) – наибольшим из всех значений функции на отрезке:

f (x ₁) £ f (x) f (x) £ f (x ₂).

Замечание. Утверждение теоремы становится неверным на (a; b). Например, у = х непрерывная на (0; 1) не достигает на этом интервале наибольшего и наименьшего значений. Она принимает значение, сколь угодно близкое к 1 и 0 (так как 0 и 1 не принадлежат этому интервалу).

Следствие. Если f (x) непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Т е о р е м а 21. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри этого отрезка найдется, по крайней мере, одна точка, в которой функция равна нулю.

Если точки графика y = f (x), соответствующие концам отрезка [ a; b ], лежат по разные стороны от оси Ох, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ох.

Т е о р е м а 22. (о промежуточных значениях). Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и f (a) = А, f (b) = В. Тогда для любого числа С, заключенного между А и В, найдется внутри отрезка [ a; b ] такая точка с, что f (c) = C.

Прямая у = С пересечет график функции f (x) по крайней мере в одной точке. Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения.

Т е о р е м а 23. (о существовании обратной непрерывной функции). Если функция непрерывна на отрезке [ a; b ] и является монотонной на нем, то обратная функция на соответствующем отрезке [ f (a); f (b)] оси Оу существует и является также непрерывной и монотонной на этом отрезке.

Решение практических задач по теме:

«Раскрытие некоторых неопределенностей»

П р и м е р 1. Найти .

Решение. Чтобы вычислить предел надо подставить в данную функцию предельное значение х = 1, т. е.:

.

П р и м е р 2. Найти .

Решение. Подставим в данную функцию предельное значение х = 3 и получим неопределенность вида . Так как и в числителе и в знаменателе стоят многочлены, то, чтобы разрешить эту неопределенность, разделим и числитель и знаменатель на (х – 3), т. е.:

.

П р и м е р 3. Найти .

Решение. Подставим в данную функцию предельное значение х = 1 и получим неопределенность вида . Так как и в числителе и в знаменателе стоят многочлены второй степени, то, чтобы разрешить эту неопределенность, представим и числитель и знаменатель в виде произведений, т. е.:

;

.

Тогда предел запишется в виде:

.

П р и м е р 4. Найти .

Решение. Подставим в данную функцию предельное значение х = 5 и получим неопределенность вида . Так как числитель – это иррациональная функция, то, чтобы разрешить эту неопределенность, домножим и числитель, и знаменатель на выражение сопряженное числителю, т. е. на :

.

П р и м е р 5. Найти .

Решение. Подставим в данную функцию предельное значение х = ¥ и получим неопределенность вида . Так как в числителе и в знаменателе стоят многочлены третьей степени, то, чтобы разрешить эту неопределенность, разделим и числитель, и знаменатель на х в наибольшей степени, т. е. на х ³:

,

так как при х ® ¥ дроби и стремятся к нулю.

П р и м е р 6. Найти .

Решение. Подставим в данную функцию предельное значение х = ¥ и получим неопределенность вида . Так как в числителе и в знаменателе стоят иррациональные функции, то, чтобы разрешить эту неопределенность, разделим и числитель, и знаменатель на х в наибольшей степени. Для этого сравним отдельно степени х, т. е.: и . Так как больше чем , то будем делить на :

,

так как при х ® ¥ дроби и стремятся к нулю.

Решение практических задач по теме:

«Замечательные пределы»

П р и м е р 7. Найти .

Решение. Подставив в функцию предельное значение х = 0, получаем неопределенность вида . Так как в функции присутствует тригонометрическая зависимость, то воспользуемся первым замечательным пределом, т. е.:

.

П р и м е р 8. Найти .

Решение. Подставив в функцию предельное значение х = 0, получаем неопределенность вида . Так как в функции присутствует тригонометрическая зависимость, то сведем данную функцию к первому замечательному пределу, т. е.:

.

П р и м е р 9. Найти .

Решение. Подставив в функцию предельное значение х = ¥, получаем неопределенность вида . Сведем данную функцию ко второму замечательному пределу, т. е. выделим целую часть в скобках:

.

Обозначим , откуда . Причем при х ® ¥ t ® 0. Следовательно,

.

Решение практических задач по теме:

«Эквивалентные бесконечно малые функции»

П р и м е р 10. Найти .

Решение. Воспользуемся таблицей эквивалентных функций и заменим arctg 2 x ~2 x. Тогда

.

П р и м е р 11. Найти .

Решение. Воспользуемся таблицей эквивалентных функций и заменим ~ . Тогда

.

П р и м е р 12. Найти .

Решение. Воспользуемся таблицей эквивалентных функций и заменим (е^x – 1) ~ x и (1 – cos x) ~ . Тогда

.

Решение практических задач по теме:

«Непрерывность функции»

П р и м е р 13. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Очевидно, что функция непрерывна при х ¹ ± 3. Найдем односторонние пределы в этих точках. Сначала найдем предел слева для точки х = 3:

Аналогично найдем предел справа для точки х = 3, т. е.

Следовательно, х = 3 – точка разрыва второго рода.

Теперь найдем предел слева для точки х = – 3:

Аналогично найдем предел справа для точки х = – 3, т. е.

Следовательно, х = – 3 – точка разрыва второго рода.