![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть α (х) и β (х) – б. м. ф. при х ® х 0.
Определение 27. Если , то α (х) называется бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем β (х).
Так α (х) = х 2 – б. м. ф. при х ® 0 более высокого порядка, чем β (х) = х при х ® 0, т. к. .
Определение 28. Если , то α (х) и β (х) называются бесконечно малыми функциями одного порядка. Так α (х) = 2 х, β (х) = х, при х ® 0 – б. м. ф. одного порядка, т. к.
.
Определение 29. Говорят, что б. м. ф. α (х) и β (х) при х ® х 0 не сравнимы, если отношение при х ® х 0 не имеют предела, ни конечного, ни бесконечного.
Например, б. м. при х ® 0 функция и β (х) = х не сравнимы, т. к. их отношение
не имеет конечного предела в точке х = 0 и не является б. б. ф. при х ® 0.
Определение 30. Две б. м. ф. α (х) и β (х) при х ® х 0 называются эквивалентными, если предел их отношения равен единице:
.
Эквивалентные б. м. ф. представляют частный случай б. м. одного порядка. Эквивалентность б. м. ф. α (х) и β (х) обозначается следующим образом:
α (х) ~ β (х), при х ® х 0.
Т е о р е м а 3. Предел отношения двух б. м. ф. при х → х 0 не изменяется, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей б. м. ф. при х → х 0.
Замечание. Пусть α (х), β (х), γ (х) – б. м. ф. при х ® х 0 отношение эквивалентности обладает свойством
– рефлективности: α (х) ~ α(х), при х ® х 0;
– симметричности: если α (х) ~ β (х), то β (х) ~ α (х), при х ® х 0;
– транзитивности: если α (х) ~ β (х), а β (х) ~ γ (х), то α (х) ~ γ (х), при х ® х 0.
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций при х ® 0
sin x ~ x | ln (1 + x) ~ x | ![]() |
tg x ~ x | ax – 1 ~ x ∙ln a | |
![]() ![]() | ex – 1 ~ x | ![]() ![]() |
arcsin x ~ x | log a (1 + x) ~ x ∙log a e | |
arctg x ~ x |
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 607 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!