Сравнение бесконечно малых функций. Определение 27. Если , то α (х) называется бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем β (х)

Пусть α (х) и β (х) – б. м. ф. при х ® х ₀.

Определение 27. Если , то α (х) называется бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем β (х).

Так α (х) = х ² – б. м. ф. при х ® 0 более высокого порядка, чем β (х) = х при х ® 0, т. к. .

Определение 28. Если , то α (х) и β (х) называются бесконечно малыми функциями одного порядка. Так α (х) = 2 х, β (х) = х, при х ® 0 – б. м. ф. одного порядка, т. к. .

Определение 29. Говорят, что б. м. ф. α (х) и β (х) при х ® х ₀ не сравнимы, если отношение при х ® х ₀ не имеют предела, ни конечного, ни бесконечного.

Например, б. м. при х ® 0 функция и β (х) = х не сравнимы, т. к. их отношение не имеет конечного предела в точке х = 0 и не является б. б. ф. при х ® 0.

Определение 30. Две б. м. ф. α (х) и β (х) при х ® х ₀ называются эквивалентными, если предел их отношения равен единице:

.

Эквивалентные б. м. ф. представляют частный случай б. м. одного порядка. Эквивалентность б. м. ф. α (х) и β (х) обозначается следующим образом:

α (х) ~ β (х), при х ® х ₀.

Т е о р е м а 3. Предел отношения двух б. м. ф. при х → х ₀ не изменяется, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей б. м. ф. при х → х ₀.

Замечание. Пусть α (х), β (х), γ (х) – б. м. ф. при х ® х ₀ отношение эквивалентности обладает свойством

– рефлективности: α (х) ~ α(х), при х ® х ₀;

– симметричности: если α (х) ~ β (х), то β (х) ~ α (х), при х ® х ₀;

– транзитивности: если α (х) ~ β (х), а β (х) ~ γ (х), то α (х) ~ γ (х), при х ® х ₀.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций при х ® 0

sin x ~ x	ln (1 + x) ~ x	~ p∙x, p > 0
tg x ~ x	ax – 1 ~ x ∙ln a
~	ex – 1 ~ x	~
arcsin x ~ x	log a (1 + x) ~ x ∙log a e
arctg x ~ x