Предел функции одной переменной

Определение 16. Постоянное число х ₀ называется пределом переменной величины х в данном процессе, если для каждого наперед заданного произвольно малого δ > 0 можно указать такое значение переменной х, что все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству

Если число х ₀ есть предел переменной величины х, то говорят, что х стремится к пределу х ₀, и пишут:

или

С помощью логических символов это определение выражается следующим образом

.

Если х → х ₀, х < х ₀, то говорят, что х стремиться к х ₀ слева и пишут: х → х ₀ – 0.

Если х → х ₀, х > х ₀, то говорят, что х стремиться к х ₀ справа и пишут: х → х ₀ + 0.

Определение 17. (предела функции при х → х₀ – 0). Число А называется пределом функции f (x) при х → х ₀ – 0, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое δ, что для всех х ∈ (х ₀ – δ; х ₀) выполняется неравенство

| f (x) – A | < ε.

Обозначается

Символическая запись:

"ε > 0 $δ > 0 " x: х ₀ – δ < x < x ₀ Þ | f (x) – A | < ε.

Геометрический смысл предела функции при х → х ₀ – 0 заключается в следующем: каково бы ни было ε > 0 найдется такое δ > 0, что для всех х заключенных между х ₀ – δ и х ₀, график функции лежит в полосе, ограниченной прямыми у = А – ε и у = А + ε.

Аналогично пределу функции при х → х ₀ – 0 вводится понятие предела при х → х ₀ + 0.

Определение 18. Число А называется пределом функции f (x) при х → х ₀ + 0, если каково бы ни было число ε, найдется такое δ > 0, что для всех х Î (х ₀; x ₀ + δ), выполняется неравенство | f (x) – A | < ε,

Обозначается

Символическая запись:

"ε > 0 $δ > 0 " x: x ₀ < x < x ₀+δ Þ | f (x) – A | < ε.

Геометрически это означает, что график функции лежит в полосе, ограниченной прямыми у = А – ε и у = А + ε для всех х, заключенных между х ₀ и x ₀ + δ.

Пределы функции при х → х ₀ – 0 и х → х ₀ + 0 называются односторонними пределами.

Если оба односторонних предела существуют и равны между собой, то говорят, что f (x) имеет двусторонний предел при х → х ₀, или просто имеет предел при х → х ₀

Определение 19. Число А называется пределом f (x) при х → х ₀, если каково бы ни было ε > 0, можно найти такое δ, что для всех х ∈ (х ₀ – δ; х ₀+δ) (за исключением быть может точки х ₀), выполняется неравенство

| f (x) – A | < ε,

Обозначается

Символическая запись:

"ε > 0 $δ > 0 " x: 0 < | x – x ₀| < δ Þ | f (x) – A | < ε.

Геометрически это значит, что для всех точек х, отстоящих от точки х ₀ не далее чем на δ, точки графика функции f (x) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у = А – ε и у = А + ε.

Определение 20. Назовем окрестностью точки х ₀ любой интервал, содержащий эту точку. Дельта – окрестностью (δ –окрестностью) точки х ₀ называется интервал х ₀ – δ < х ₀ < х ₀ + δ.