Второй замечательный предел (неопределенность типа 1¥)

Пусть функция у = f (x) определена при некотором значении х ₀ и в некоторой ее окрестности. Пусть у ₀ = f (x ₀). Если х получит некоторое положительное или отрицательное приращение ∆ х и примет значение х = х ₀ + ∆ х, то функция у получит некоторое приращение ∆ у. Новое, наращенное значение функции будет у ₀ + ∆ у = f (x ₀ + ∆ x). Тогда приращение функции определяется формулой

∆ у = f (x ₀ + ∆ x) – f (x ₀).

Определение 31. Функция у = f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если она определена в этой точке и ее окрестности и если , т. е. если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, или что то же самое,

.

Приведем еще одно определение непрерывной в точке функции.

Определение 32. Функция f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если:

1. Эта функция определена в точке х ₀ и некоторой ее окрестности;

2. Имеет место равенство , т. е. когда предел функции при х → х ₀ равен значению функции в предельной точке.

Определение 33. Функция, непрерывная в каждой точке некоторого отрезка, называется непрерывной на этом отрезке.

Определение 34. Если условие непрерывности функции в точке х ₀ не выполняется, то функция называется разрывной в этой точке, а сама точка х ₀ называется точкой разрыва функции у = f (x).

Т е о р е м а 16. Функция f (x) непрерывная при х ₀ тогда и только тогда, когда выполняется соотношение:

или в других обозначениях

f (x ₀ – 0) = f (x ₀ + 0) = f (x ₀). (2)