Основные теоремы о пределах. Для определенности все доказательства и формулировки проведем для х → + х0

Для определенности все доказательства и формулировки проведем для х → + х ₀. Теоремы для случаев: х → – ¥, х → + ¥, х → х ₀ ± 0 совершенно аналогичны.

Т е о р е м а 4. (прямая)(о связи между функцией, имеющей предел, и б. м. ф.). Если функция f (x) имеет предел (при х → х ₀) равный А, то ее можно представить как сумму числа А и б. м. ф. (при х → х ₀), т. е. если , то

f (x) = A + α (x), где α (х) – б. м. ф. при х → ¥. (1)

Т е о р е м а 5. (обратная). Если функцию f (x) можно представить как сумму числа А и некоторой б. м. ф. (х → х ₀), т. е. f (x) = A + α (x), то число А является пределом функции f (x) при х → х ₀.

Т е о р е м а 6. Если функция y = f (x) имеет предел при х → х ₀, то она ограничена своим пределом в некоторой окрестности этой точки.

Т е о р е м а 7. (о пределе постоянной функции). Предел постоянной при х → + х ₀ равен самой этой постоянной.

где С = const.

Т е о р е м а 8. (о пределе суммы функций, имеющих предел). Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, т. е. если

и , то

Примечание. Теорема 7 справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.

Т е о р е м а 9. (о пределе произведения функций, имеющих пределы). Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, т. е. если существуют

и , то

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Примечание. Теорема 8 справедлива для любого конечного числа сомножителей.

Следствие 2. Предел степени равен степени предела, т. е.

.

Т е о р е м а 10. (о пределе частного). Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю, т.е.

, , то

Примечание. Теоремы о пределах суммы, произведения и частного облегчают нахождения пределов.

Т е о р е м а 11. Если f (x) ³ 0 в окрестности точки х ₀ и при х → х ₀ имеет предел, то этот предел не может быть отрицательным, т. е.

.

Т е о р е м а 12 (переход к пределу в неравенстве). Если f (x) £ g (x) для всех х из некоторой окрестности точки х ₀, кроме, быть может, самой точки х ₀, и каждая из функций f (x) и g (x) в точке х ₀ имеет предел, то

.

Т е о р е м а 13. (о пределе промежуточной функции). Пусть три функции φ (х), f (x), g (x) удовлетворяют неравенствам

φ (x) £ f (x) £ g (x) для х → х ₀.

Тогда, если , то и f (x) имеет предел, равный А: .

Т е о р е м а 14. Предел логарифма функции равен логарифму ее предела, т. е.

Т е о р е м а 15. Если существует, то