Модуль действительного числа

Определение 15. Модулем (или абсолютной величиной) действительного числа х называется неотрицательное число, обозначаемое | x | и определяемое формулой

Из определения следует, что для всех х справедливо соотношение .

Если расположить действительные числа на числовой оси, то модуль | x | любого числа х представляет собой расстояние от начала отсчета О до соответствующей точки с абсциссой х.

Отсюда следует, что если модуль числа х удовлетворяет неравенству

| x | < a (или | x | ≤ a), где a > 0,

то число х подчинено ограничению:

– a < x < a (или соответственно – a ≤ x ≤ a)

т. е. х принадлежит интервалу (– а; а) (или отрезку [– а; а ]).

Рассмотрим более общий случай:

если | x – х ₀| < a (или | x – х ₀| ≤ a),то число х подчинено ограничению:

х ₀ – a < x < х ₀ + a (или соответственно х ₀ – a ≤ x ≤ х ₀ + a),

т. е. х принадлежит интервалу с центром в точке х _0- (х ₀ – а; х ₀ + а) (или отрезку [ х ₀ – а; х ₀ + а ]).