Примеры для самостоятельного решения. 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; – 1; – 4) и перпендикулярной вектору

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; – 1; – 4) и перпендикулярной вектору . Ответ: 3 х – 6 у + z – 8 = 0.

2. Определить отрезки, отсекаемые на осях координат плоскостями:

а) 2 х – 3 у + 4 z – 24 = 0 (Ответ: а = 12, b = – 8, с = 6);

б) 4 х + у – 3 z – 2 = 0 (Ответ: а = 1/2, b = 2, с = – 2/3)

3. Построить плоскости:

а) 2 х + 3 у – 4 z – 12 = 0; б) 2 х – 3 у – 6 = 0;

в) 4 х + 5 у = 0; г) 4 х + 9 = 0.

4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А (– 2; 4; 1), В (0; 2; – 1), С (2; 0; – 1). Ответ: х + у – 2 = 0.

5. Найти угол между двумя плоскостями 11 х – 8 у – 7 z + 5 = 0 и 7 х + 2 у – 8 z – 3 = 0. Ответ: φ = 45º.

6. Составить канонические и параметрические уравнения прямых:

а) б)

Ответ: а) ; ; б) ; .

7. Даны вершины треугольника А (3; – 1; – 1), В (1; 2; – 7), С (– 5; 14; – 3). Найти угол В. Ответ: 74º42¢.

8. Найти расстояние от точки С (– 5; 4; 3) до прямой . Ответ: .

9. Проверить, лежат ли прямые и в одной плоскости.

10. Найти величину острого угла между прямой и плоскостью 2 х + у + 2 z – 5 = 0. Ответ: φ = 45º.

11. Определить следующие поверхности:

а) 3 х ² + 3 у ² + 3 z ² – 12 x + 15 y – 9 z + 33 = 0;

б) x ² + y ² + z ² – 2 x – 4 y + 8 z – 28 = 0;

в) 2 x ² – 6 y ² + 3 z ² – 12 x – 24 y – 24 z + 30 = 0;

г) – x ² + 2 y ² + 3 z ² – 4 x + 4 y – 24 z + 52 = 0;

д) x ² – 3 y ² + 8 x + 6 y + 10 = 0;

е) z ² – 8 x – 2 z – 7 = 0;

12. Определить и построить поверхности:

а) x ² + y ² – 4 z ² = – 1;

б) 3 x ² + y ² = 2 (z – 2);

в) y ² = 15 z;

г) x ² – 9 y ² = 4 z ²;

д) x ² = 5 y – 1;

е) 2 x ² – 7 y ² + 11 z ² = 0;

ж) ;