 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Прямая в пространстве. Взаимное расположение
|
|
прямой и плоскости»
П р и м е р 8. Привести к каноническому виду уравнения прямой: 
Решение. Найдем вектор 
перпендикулярный нормальным векторам 
, 
соответствующих плоскостей
.
В качестве точки М 1 (х 1, у 1, z 1), через которую проходит искомая прямая, можно взять точку пересечения ее с любой из координатных плоскостей, например с плоскостью уОz. Так как при этом х 1 = 0, то координаты у 1 и z 1 этой точки определятся из системы уравнений заданных плоскостей, если в них положить х = 0:
Итак, точка М 1 (0, 2, 1), а искомая прямая определяется уравнениями:
или
.
П р и м е р 9. Написать уравнение прямой, проходящей через точки А (– 1; 2; 3) и В (2; 6; – 2), и найти ее направляющие косинусы.
Решение. Воспользуемся формулой прямой, проходящей через две точки:
.
П р и м е р 10. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (– 2; 1; – 1) и параллельной вектору 
.
Решение. Воспользуемся каноническими уравнениями прямой. Полагая в равенствах
l = 1, m = – 2, n = 3, x 1 = – 2, y 1 = 1, z 1 = – 1, получаем
.
Приравняем поочередно каждое уравнение к параметру t и получим
или 
П р и м е р 11. Показать, что прямая 
лежит в плоскости 2 х + у – z = 0.
Решение. Должно быть одновременное выполнение равенств
где А = 2, В = 1, С = – 1, D = 0, m = 2, n = – 1, p = 3, х 0 = – 1, у 0 = – 1, z 0 = – 3.
Следовательно, прямая принадлежит плоскости.
П р и м е р 12. Найти угол между прямой 
и плоскостью 2 х + у + z – 4 = 0.
Решение. Воспользуемся формулой:
где А = 2, В = 1, С = 1, m = – 2, n = – 6, p = 3.
Следовательно, 
Решение практических задач по теме:
«Поверхности второго порядка»
П р и м е р 13. Определить и построить цилиндр: 
.
Решение. Так как две переменные в квадратах и все коэффициенты положительные, то делаем вывод, что данная поверхность – это эллиптический цилиндр с образующими параллельными оси Ох и направляющей – эллипсом 
в плоскости уОz.
В плоскости уОz строим эллипс с полуосями b = 5, c = 2. Затем строим такой же эллипс в любой плоскости x = h и параллельно оси Ох проводим образующие. Поверхность является неограниченной, на рисунке изображена лишь часть ее.
П р и м е р 14. Определить и построить поверхность: 
Решение. Так как все переменные в квадратах и один из коэффициентов отрицателен, то данная поверхность – это однополосный гиперболоид с центром в начале координат и соответствующими полуосями: а = 1, b = 2, с = 3. Гиперболоид расположен вдоль оси Oz (квадрат этой координаты в уравнении с минусом). Сначала строим перпендикулярно оси Oz три сечения. Одно проходит через начало координат, два других – по обе стороны от него, например, в плоскостях z = 4 и z = – 4.
Этими сечениями являются эллипсы:
.
Вершины первого эллипса, называемого горловым, лежат в точках С 2 (0, 2, 0), D 2 (0, – 2, 0), A 2 (1, 0, 0), B 2 (– 1, 0, 0).
Второй эллипс, расположенный в плоскости z = 4, имеет вершины С 1 (0, 
, 4), D 1 (0, – , 4), A 1 (
, 0, 4), B 1 (– , 0, 4).
Третий эллипс расположен в плоскости z = – 4, его вершинами служат точки С 3 (0, , – 4), D 3 (0, – , – 4), A 3 (, 0, – 4), B 3 (– , 0, – 4).
Теперь строим сечение однополосного гиперболоида координатной плоскостью уОz. В сечении получается гипербола
Она расположена симметрично относительно осей Оу и Oz, координаты ее вершин, лежащих на оси Оу, определяются решением системы
Полученные точки (0; 2; 0) и (0; – 2; 0) являются уже известными нам вершинами С 2 и D 2 горлового эллипса.
Решая системы
получим соответственно точки С 1 и D 1, С 3 и D 3. Строим ветви гиперболы С 1 С 2 С 3 и D 1 D 2 D 3.
Аналогично, получаем гиперболы А 1 А 2 А 3 и В 1 В 2 В 3. в сечении однополосного гиперболоида плоскостью хОz.
Достраиваем поверхность и заключаем, что однополосный гиперболоид представляет собой бесконечную трубку, бесконечно расширяющуюся в обе сторон от горлового эллипса.
П р и м е р 15. Построить тело, ограниченное поверхностями: 
, 
.
Решение. Обе поверхности являются эллиптическими параболоидами. Первый параболоид имеет вершину в начале координат, а второй – в точке (0; 0; 15). Чтобы построить тело ограниченное этими поверхностями найдем плоскость их пересечения. Для этого решим систему уравнений:
.
Значит, поверхности пересекаются на плоскости, параллельной плоскости хОу, на высоте z = 3 и имеют сечение 
– окружность радиуса 
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 153 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
