Линейные САУ при случайных воздействиях. Принципы анализа и синтеза. Основные используемые допущения

До сегодняшнего дня предполагалось, что внешние воздействия, приложенные к САУ являются детерминированными (то есть определенными) функциями времени. Однако, на практике часто встречаются случаи, когда пренебречь случайной составляющей воздействия нельзя (например, системы приема-передачи сигналов; системы, работающие в условиях сильного шума или помех). Случайные воздействия могут прикладываться к системе извне, или возникать внутри нее (внутренние шумы).

Исследование САУ при случайных воздействиях проводят с помощью специальных статистических методов, вводя в рассмотрение определенные статистические характеристики случайных величин. Естественно, с помощью статистических методов невозможно предсказать значение той или иной переменной САУ в конкретный момент времени. Поэтому, необходимо помнить, что исследование САУ статистическими методами дает представление о средних значениях (наиболее вероятно воспроизводимых, носящих массовый характер). То есть исследование САУ статистическими методами сводится к исследованию преобразований некоторых средних величин, характеризующих случайный процесс.

Анализ линейных САУ при случайных воздействиях

Принимаются предположения о стационарности случайного процесса. Если САУ устойчива и стационарна, то выходной случайный процесс – стационарен.

По формуле свертки реализация случайного процесса на выходе САУ будет иметь вид: , где - независимая переменная интегрирования.

(1)

Данное соотношение позволяет по известной корреляционной функции определить корреляционную функцию на выходе линейной САУ

Аналогичное (1) соотношение можно получить для частотной области:

Преобразование Фурье от корреляционной функции называется спектральной плотностью мощности случайного процесса :

(Общий вид преобразования Фурье ) вычислим преобразование Фурье от (1):

Рассмотрим случай, когда на САУ действуют 2-а случайных сигнала, полезный сигнал G(t) и помеха F(t).

, .

Варианты задач:

1. Математическая модель релейной САУ dx/dt=-4x+y(e). Где e - ошибка регулирования, а y(e) – сигнал с выхода релейного элемента с пространственным гистерезисов y(e) = 16; e>-0,1 и y(e)=-16; e<0,1. Управляющее воздействие САУ u=2. Определить период установившихся колебаний.

АНАЛОГ

Математическая модель релейной САУ dx/dt=-10х+kf(e). Где е – ошибка регулирования, а кf(e) – сигнал с выхода релейного элемента с характеристикой kf(e)=50, e>0 и кf(e)=-50, е<0, и временным запаздыванием на включение (выключение) t_з =1. Управляющее воздействие u=2. Определить амплитуду и период установившихся колебаний.

Решение.

<picture>

Общее уравнение колебаний: x(t)=x(t₀)*e^{a (t-t0)}-(1-e^a(t-t0))*(b/a).

· Определение амплитуды колебаний.

Подставим:

a=-10; b=±50. Пусть в начальный момент t₀=0. x=u; т.е. x(t₀)=u=2 (в точке t₀=0); b=50.

x(t)=2*e^{-10 (tз-0)}-(1-e^{-10 (tз-0)})*(50/-10)

x(t)=2*e^{-10 tз}+5-5*e^{-10 tз}=5-3* e^{-10 tз}

x(t_з)=u+A=2+A=5-3* e^{-10 tз}; А=5-2=3 (амплитуда)

· Определение периода. Период T=t_з+t1+ t_з+t2=2* t_з+t1+t2.

Найдем t1

b=-50.

x(t1)=x(t₀)* e^{-10 (t1-0)}-(1-e^{-10 (t1-0)})*(-50/-10)=2

x(t₀)=u+А

5* e^{-10 t1}-5+5*e^{-10 t1}=2

10* e^{-10 t1}=7;

t1=ln(0.7)/-10=0.036 (ед времени)

Найдем t2

b=50.

x(t₀)=u-A=2-3=-1;

x(t2)=x(t₀)* e^{-10 (t2-0)}-(1-e^{-10 (t2-0)})*(50/-10)=u

x(t2)=-e^{-10 t2}+5-5*e^{-10 t2})=2

-6* e^{-10 t2}=-3

t2=ln(0.5)/-10=0.069 (ед времени)

T==2* t_з+t1+t2=2.105 (ед времени)

2. Передаточная функция объекта управления W_оу(s)=1000s/(s²+11s+10). Передаточная функция регулятора W_оу(s)=50/(s+100). Построить ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САУ.

3. Передаточная функция разомкнутой САУ W_p(s)=200/(s³+2s²+3s+1). Оценить устойчивость замкнутой САУ с помощью критерия Найквиста.

4. Получит в общем вид передаточной функции замкнутой САУ по прилагаемой структурной схеме.

5. Передаточная функция разомкнутой САУ W_оу(s)=10/(s²+15s+40)/ построить ЛАЧХ и ЛФЧХ замкнутой САУ.

6. Передаточная функция замкнутой САУ W_з(s)=50/(s+50)/ по переходной функции определить тип переходного прочеса, его длительность (по установленной точности 5%) и величину перерегулировки.

7. Передаточная функция объекта управления W_оу(s)=500/(s³+2s²+3s+1). Оценить устойчивость замкнутой САУ с помощью критерия Михайлова.

8. Передаточная функция объекта управления W_оу(s)=20/(s²+4s+2). Скорректировать САУ так, чтобы статическая ошибка регулирования была не более 2%. Оценить устойчивость получившейся системы.

АНАЛОГ Передаточная функция объекта управления Wоу(s)=20/(s+5), передаточная функция регулятора Wр(s)=5/(s+5). Скорректировать САУ так, чтобы статическая ошибка регулирования была не более 2%. Оценить устойчивость полученной системы.

Билет 9 (2)

Решение.

Для разомкнутой САУ Wраз(s)=Wр(s)*Wоу(s)=100/(s+5)²

<picture>

Известно, что Wраз(s)=X/e (1),

X=U-e; (2),

Следовательно, Wраз(s)*e=X (3),

Из (2) и (3):

e*(1+ Wраз(s))=U, и e=U/(1+ Wраз(s)) (4).

e(¥)=lim s*e(s) |_s®0=lim s*U(s)/(1+ Wраз(s)) |_s®0= lim s*(U/s)/(1+ Wраз(s)) |_s®0= lim s*U/(1+ Wраз(s)) |_s®0;

Статическая ошибка регулирования:

e(¥)/U= lim s*U/(1+ Wраз(s)) |_s®0* (1/U)=1/(1+ Wраз(0)) =1/(1+100/25) =1/(1+4)=0,2 или 20%.

Для обеспечения статистической ошибки регулирования введем усилитель (ошибки).

В этом случае статическая ошибка регулирования:

e(¥)/U=1/(1+b*Wраз(0))=1/(1+4*b)=0,02 (2%)

Отсюда b=12,25. Возьмем с запасом: b=13. САУ скорректирована.

САУ устойчива, так как полином в знаменателе второго порядка и все коэфиц одного знака (+) – необх и достаточн. для второго порядка условие.

9. С помощью интегральных показателей качества определить длительность переходного процесса и его задержку. Импульсная переходная функция замкнутой САУ w(t)=e ^-5t. Управляющее воздействие u=3.

Решение.

· Длительность переходного процесса определим как отношение установившегося значения импульсной переходной функции к крутизне этой характеристики в некоторой точке наклонного участка

-0,5*[ e^-2*¥- e^-2*¥]=-0,5*[0-1]=0,5 (ед времени)

· Задержка для системы стабилизации:

=0,25/0,5=0,5 (ед вермени)

10. Передаточная функция разомкнутой САУ W_р(s)=2000/(s³+6s²+15s+4). Оценить устойчивость замкнутой САУ по критерию Гурвица.

Билет №15 (2), билет №13 (1).

Решение.

Преобразуем Wр в Wз: Wз=Wp/(1+Wp)

Wз(S)=500/(s³+6s²+15s+504)

построим определитель

| 6 504 0 |

D=| 1 15 0 |

| 0 6 504|

Найдем определители:

D1=6; D2=6*15-504=-414; D3=6*15*504+0+0-0-504*504-0<0 – САУ неустойчива.

11. Передаточная функция разомкнутой САУ W_р(s)=2000/(s³+6s²+15s+4). Оценить устойчивость замкнутой САУ по критерию Рауса.

12. Передаточная функция разомкнутой САУ W_р(s)=40/(s+10). Управляющее воздействие u(t)=3×1(t). Получить аналитическое выражение и построить график регулируемой величины в функцию времени.

Билет 21 (2).

Решение.

Wр(s)=10/(s+2), U(t)=3*1(t).

Преобразуем в замкнутую.

Wз(s)= Wр(s)/(1+ Wр(s))=10/(s+2+10)=10/(s+12)

Wз(s)=X(s)/U(s), следовательно X(s)= Wз(s)*U(s).

U(t)=3*1(t), следовательно, U(s)=3/s (по таблице преобразований Лапласа)

X(s)= Wз(s)*U(s)=(10/(s+12))*(3/s)=30/(s²+12*s)

Полученное выражение необходимо представить как сумму.

То есть, X(s)=-2.5/(s+12)+2.5/s

По таблице преобразований:

x(t)=-2.5*e^-12*t+2.5*1(t)

e (t)=u(t)-x(t)=0.5*1(t)+2.5*e^-12*t