Устойчивость нелинейных САУ в смысле Ляпунова

Поскольку в нелинейных САУ возможно наличие стационарных состояний, то для линеаризованной системы понятие устойчивости трактуется двояко. Во-первых, можно говорить о локальной устойчивости, под не понимают устойчивость в малом, т.е. сходимость траектории переходных процессов при малых отклонениях от него.

Во-вторых, можно понимать устойчивость в глобальном смысле т.е. устойчивость системы в целом, под ней будем понимать сходимость траектории переходных процессов к стационарному состоянии из любых начальных условий. Говорить о глобальной устойчивости можно с гарантированным единственным стационарном состоянием.

Локальная устойчивость. Первый метод Ляпунова.

В основу исследования локальной устойчивости по Ляпунову (устойчивость конкретного состояния) заложена идея о возможности линеаризации любой нелинейной САУ в малой окрестности исследуемого стационарного состояния. Полученная в результате подобная линеаризованная линейная модель, характеризует сходимость траектории стационарного состояния малой его окрестности или расходимость.

Пусть система вида dX/dt=G(X*); X* - стационарное состояние. Стационарное состояние будем называть устойчивым, если для любого отклонения из его окрестности |x|>0 можно подобрать такое d(x), что из условия |Y₀(t₀)|<d; |Y(t)|<x, t>t₀.

Если кроме того обеспечивается выражение , то стационарное состояние называется устойчивым асимптотически.

Если для стационарного устойчивого процесса условие выполняется для сколько угодно большего d, то устойчивость называется глобальной, а система устойчива в целом.

Минимальное значение d, для которого выполняется условие локальной устойчивости определяет радиус области притяжения данного процесса.

Область притяжения стационарного процесса называется его окрестностью, выбрав н.у. из которой можно гарантировать сходимость траектории к этому стационарному процессу.

Определение состояния равновесия нелинейно САУ

1 G(X*)=0; приравнивается произведение к нулю в стационарном состоянии

2 X(t)=X*+Y(t); ;

3 получаем

J –матрица Якоби.

Собственные числа матрицы Якоби (тоже самое, что полюсы передаточной ф-ции модели вход-выход) определяют, будут ли отклонения уменьшаться или бесконечно возрастать.

- собственные числа матрицы Якоби.

Для того чтобы система была устойчивой необходимо чтобы все находились в левой части мнимой плоскости. Собственные числа определяются из det(J - lE)=0

19. Релейные САУ. Принципы построения. Исследование релейных САУ мето­дом припасовывания. Критерий устойчивости.

Система называется релейной если в ее составе имеется хотя бы один элемент обладающий релейной амплитудной характеристикой.

Амплитудные характеристики называются релейной если ее производная принимает только 0 и ¥.

Релейные характеристики могут является свойства объекта, а могут вводится искусственно в качестве регулятора. Стационарным процессом релейных систем являются периодические колебания, при чем частота колебания ограничена сверху гистерезисом релейного элемента. Релейный элемент типа идеальное реле практически нереализуем поскольку не обладает гистерезисом.

Под устойчивостью релейной системы понимаю ограниченность колебательной величины гистерезисом, а также постоянство частоты. Подробную оценку уст РС можно получить из теории линейных САУ, если представить РЭ как делитель с бесконечно большим коэффициентом усиления

1) n – m = 1, d₀=b₀/a₀>0

2) n – m = 2, d₀>0; d₁=1/a₀(b₁- d₀ a₁)<0

Во всех остальных случаях система будет не устойчива.