Умножение матриц

Пусть даны матрица вида и матрица вида . Тогда произведением матриц будет матрица вида и обозначаемая , где коэффициенты вычисляются по формулам:

(1строка)

(2 строка)

............................................................................

Умножение матриц вида на матрицы вида не коммутативно.

В случае, когда для матиц А, В, С имеет смысл и , то выполняется ассоциативность.

Рассмотрим множество квадратных матриц порядка n. В этом множестве определены операции сложения и умножения. Относительно этих операций множество квадратных матриц образует кольцо.

Пусть , .

Сложение и умножение связаны дистрибутивными законами:

Рассмотрим матричное уравнение . Если бы для матрицы А существовала матрица , такая что , то умножая слева обе части этого матричного уравнения на , мы бы получили:

Пусть Х – произвольная квадратная матрица порядка n, положим по определению , так как умножение всегда определено, и в результате получается также матрица порядка n, то можно говорить о возведении в степень .

Для степеней имеет место соотношения: , .

В более общем случае для любых двух квадратных матриц одного и того же порядка, если , то .

Рассмотрим множество всех многочленов всех степеней с коэффициентами из поля Р. Известно, что в множестве всех многочленов определены операции умножения и сложения:

Если

, ,

Тогда

, , причем если , то .

, .

Множество относительно таким образом введенных операций является кольцом.

Пусть – произвольный многочлен, а А – произвольная квадратная матрица, тогда рассмотрим выражение: (2). Выражение (2) называется матричным многочленом. – матрица того же порядка, что и А. Если любому многочлену поставить в соответствие матричный многочлен , то получим множество всех матричных многочленов , поскольку является коммутативным кольцом с единицей, то и множество также является коммутативным кольцом с единицей.