Действия над матрицами. Определители. Линейные уравнения

Пусть М – произвольное множество. Под матрицей размера мы будем понимать прямоугольную таблицу A, составленную из элементов множества M:

Если m=n, то матрицу A называют квадратной.

Если в М определена операция сложения, то сложение можно определить и на множестве матриц вида :

(1)

Если множество М ассоциативно, то ассоциативным будет и сложение матриц.

Если сложение в М коммутативно, то коммутативным будет и соответствующее множество матриц.

Если в множестве М есть нейтральный элемент 0, то в множестве матриц вида также будет нейтральный элемент.

Если в множестве М для каждого элемента существует противоположный, то и в множестве матриц с введенной операцией сложения существует противоположный.

Таким образом, если множество – абелева группа, то множество всех матриц вида с операцией сложения, определенной по формуле (1) также является абелевой группой.

Пусть на М определена еще операция умножения и М – поле. Тогда для любого числа l, принадлежащего М и любой матрицы А вида можно определить умножение матрицы на число.

(2)

Легко проверить, что помимо четырех аксиом абелевой группы, которые выполняются на множестве всех матриц вида , выполняются также следующие свойства:

Относительно введенных операций (1) и (2) множество всех матриц является линейным пространством.