Cвойства

A(BC)=(AB)C

A(B+C)=AB+AC

EA=A

0*A=0

k(AB)=(kA)B*(kB)A

AB BA

БИЛЕТ #12
Обратная матрица – такая матрица А^-1 при умножении на которую, исходная матрица А дает единичную Е

АА-1=Е

Обратная матрица есть только у квадратных матриц, чей определитель не равен 0

Свойства:

Det A^-1=1/detA

(AB)^-1=B^-1A^-1

(A^T)^-1=(A^-1)^T

(kA)^-1=k^-1*A^-1

E^-1=E

Способы нахождения:

1) методом Гаусса

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A⁻¹.

2) Способом алгебраических преобразований и дополнений

Решение матричных уравнений

Уравнение вида AX=B cледует решать с помощью обратных матриц

Умножаем обе части уравнения на обратную матрицу

AX=C

A^-1AX=A^-1C

EX=A^-1C

X=A^-1C

Далее находим обратную матрицу и умножаем ее на матрицу С

БИЛЕТ #13
Формула вычисления определителя второго порядка:

=ad-bc

Формула вычисления определителя третьего порядка:

Свойства определителей:

1) Определитель не изменяется при транспонировании

2) При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число

3) Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.

4) Определитель, имеющий две равные строки, равен 0.

5) Определитель, две строки которого пропорциональны, равен 0.

6) При перестановке двух любых столбцов (строк) определителя его знак меняется на противоположный, а абсолютная величина остается неизменной.

7) Определитель не изменится, если к любому его столбцу (строке) прибавить произвольную линейную комбинацию его столбцов (строк).

8) Определитель суммы двух квадратных матриц одного и того же порядка равен сумме всех различных определителей порядка n, которые могут получиться, если часть строк (столбцов) брать совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы А, а оставшуюся часть – совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы В.

Определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей

БИЛЕТ #14
Свойства определителя те же, что в №13

Алгебраические дополнения

Алгебраическим дополнением к элементу определителя -го порядка называется число , где к элементу определителя -го порядка называется определитель -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием -той строки и -того столбца.