Однородные рекурсивные фильтры

Однородные фильтры имеют одно важное преимуrnество перед всеми другими

: для них суrnествует самый простой алгоритм реализации, какой только можно

придумать. Чтобы понять этот алгоритм, рассмотрим следующий пример. Пусть сигнал х[ ] поступает на вход однородного нерекурсивного фильтра седьмого

порядка, ау[] - реакция этого фильтра. Тогда отсчётыу[50] иу[51] выражаются

соотношениями

у[50] =х[47] +х[48] +х[49] +х[50] + х[51] +х[52] +х[53]

и

у[51] =х[48] +х[49] +х[50] +х[51] +х[52] +х[53] +х[54].

Эти выражения во многом повторяют друг друга, поскольку отсчёты 48... 53

используются для вычисления и у[50], и у[51]. Если у[50] уже найден, то существует

более эффективный способ вычислить у[ 51]:

у[51] = у[50] + х[54] -х[47].

Если найдено значение у[50], то у[51] проще всего выразить через него. То же

самое относится и к последующим отсчётам выходной последовательности. Если

найден один отсчёт выходного сигнала у[ ], каждый последующий может быть

найден в результате одной операции сложения и одной операции вычитания:

y[i] = y[i-l]+x[i+ p]-x[i-q],

где р = (М - 1)/2, (15.3)

q = р + 1.

Однородный рекурсивный фильтр. Здесь х[ ] - входной сигнал, у[ ] - выходной

сигнал, М - число (нечётное) усредняемых отсчётов. Перед началом использования

этой формулы необходимо вычислить первый отсчёт выходной последовательности

простым суммированием.

Как видим, этот алгоритм использует два источника данных: отсчёты входной

последовательности и найденные ранее отсчёты выходной последовательности.

Алгоритм, в котором найденные на предшествующих итерациях отсчёты выходной

последовательности также используются для вычисления последующих отсчётов

выходного сигнала, называется рекурсивным.. В Главе 19 подробно рассмотрено

множество рекурсивных фильтров. Однако однородные рекурсивные

фильтры существенно отличаются от остальных рекурсивных фильтров. В частности,

импульсная характеристика однородных фильтров имеет вид прямоугольного

импульса, т. е. это фильтры с конечной импульсной характеристикой, или

КИХ-фильтры, в то время как рекурсивные фильтры образуют класс БИХ-фильтров,

а их импульсная характеристика имеет бесконечную длину и представляется

набором синусоид и экспонент.

Превосходство по вычислительным затратам однородных фильтров перед другими

объясняется несколькими причинами. Первая: требуется всего две операции

на обработку каждого входного отсчёта. Вторая: используются только сложение и

вычитание, тогда как большинство фильтров использует трудоёмкое умножение.

Третья: процедура вычисления индексов в выражении (15.3) очень проста: достаточно

выполнить сложение и вычитание предварительно найденных констант

(р и q). Четвёртая: все операции можно выполнять полностью в целочисленной

арифметике. Выигрыш по вычислительным затратам зависит от выбранной аппаратной

платформы, и в большинстве случаев эффективность вычислений в формате

с фиксированной точкой оказывается на порядок выше, чем при выполнении тех

же вычислений в формате с плавающей точкой. Удивительно, но целочисленная арифметика позволяет не только сократить

объём вычислительных затрат, но ещё и повышает точность работы алгоритма

фильтрации. При вычислениях в формате с плавающей точкой ошибка округления,

если её не учитывать, может привести к весьма нежелательным последствиям.

Предположим, что фильтр обработал 10 ООО отсчётов входного сигнала. Значит,

следующий отсчёт будет вычислен с ошибкой, накопленной от

предшествующих 10 ООО операций сложения и 10 ООО операций вычитания. Эта

ошибка проявляется в форме «дрейфа» выходного сигнала фильтра. Вычисления

в рамках целочисленной арифметики, как правило, протекают без округлений и

связанных с этим ошибок и не создают подобных трудностей. Но иногда избежать

вычислений в формате с плавающей точкой не удаётся, тогда для решения

проблемы «дрейфа» выходного сигнала приходится использовать двойную точность

вычислений, что проиллюстрировано в Программе 15.2.

9. Принципы построения оконных фильтров.

Оконные фильтры используются для решения задач частотной селекции сигналов.

Эти фильтры обладают высокой устойчивостью, стабильностью характеристик

и оказываются чрезвычайно эффективны для указанного класса задач.

Высокая эффективность фильтров в частотной области сопровождается ухудшением

временных характеристик - увеличиваются перерегулирование и колебательность

переходного процесса. В основе работы оконных фильтров лежит операция

свёртки. Поэтому их программная реализация оказывается довольно

проста, но они требовательны к вычислительным затратам. В Главе 18 будет показано,

каким образом можно значительно уменьшить вычислительную сложность

оконных фильтров, воспользовавшись алгоритмом БПФ.

16.1. Принципы построения оконных

фильтров

Основная идея построения оконных фильтров поясняется на Рис. 16.1. Идеальный

НЧ-фильтр должен иметь единичный коэффициент передачи во всём

диапазоне частот ниже частоты среза fc и полностью подавлять все остальные

частотные компоненты. Изображённая на (б) АЧХ сохраняет постоянное значение

на протяжении всей полосы пропускания и обладает бесконечно большим затуханием

в зоне непрозрачности фильтра. Разделяющая эти две области переходная

зона бесконечно мала. Идеальная импульсная характеристика, полученная в

результате выполнения обратного преобразования Фурье идеальной частотной

характеристики, описывается функцией вида sin(x)/x (а). Согласно выражению

(11.4), идеальная импульсная характеристика может быть представлена в общем

Для того чтобы создать идеальный НЧ-фильтр, необходимо выполнить алгоритм

свёртки входного сигнала с соответствующей ему импульсной характеристикой.

Однако на практике данный алгоритм не может быть реализован, поскольку

колебания функции sin(x)/x не затухают до нулевого значения и

продолжаются как в сторону положительных, так и в сторону отрицательных частот

бесконечно долго. С точки зрения математики, построение идеального фильтра

не представляет сложности, но на практике построение фильтра с бесконечным

числом весовых коэффициентов оказывается неразрешимой задачей. Обойти указанные трудности позволяют следующие два преобразования функции

sin(x)/x (а). На первом шаге выполняется усечение исходной функции до

(М + 1) отсчётов по оси абсцисс, расположенных симметрично относительно

главного (основного) лепестка (М - чётное число). Всем остальным отсчётам

присваиваются нулевые значения, т. е. они просто отбрасываются. На втором шаге

полученная последовательность сдвигается вправо так, чтобы номера отсчётов

изменялись в пределах О... М. В результате индексы всех весовых коэффициентов

становятся неотрицательными. Цель такого сдвига импульсной характеристики

фильтра на М/2 отсчётов состоит в том, чтобы задержать выходной сигнал фильтра

на то же число отсчётов. В результате преобразований получаем импульсную

характеристику, показанную на (в).

Выполненные преобразования привели к тому, что фильтр уже не является

идеальным и имеет другую АЧХ. Можно найти АЧХ полученного фильтра (г), выполнив

преобразование Фурье его импульсной характеристики. Как же сильно

она изменилась! Появились большие колебания в полосе пропускания фильтра, а

подавление в зоне непрозрачности стало чрезвычайно малым. Эти неприятные

последствия вызваны наличием разрывов на краях усечённой импульсной характеристики

(эффект Гиббса, описанный в Главе 11). Увеличение длины импульсной

характеристики не решает проблемы, так как не устраняет разрывов.

К счастью, существует простой метод компенсации возникших искажений.

На (д) показана плавно сходящаяся к нулю кривая, названная окном Блэкмана.

Импульсная характеристика оконного фильтра (е) представляет собой результат

поэлементного умножения усечённой идеальной импульсной характеристики (в)

на оконную функцию (д). Главной целью использования оконной функции является

сглаживание усечённой импульсной характеристики на краях. Одновременно

улучшаются и частотные свойства фильтра: АЧХ в полосе пропускания снова

становится плоской, а затухание в зоне непрозрачности значительно увеличивается

(ж).

Широкое применение получили несколько оконных функций, появившихся

в 50-х годах прошлого века и названных по именам их создателей. Наиболее распространены

две из них - окно Хэмминга (16.1) и окно Блэкмана (16.2).

w[i] = 0.54-0.46 cos(2ni / М).

Оконная функция Хэмминга. Данное соотношение справедливо в диапазоне О... М;

вне этого диапазона значения нулевые.

w[i] = 0.42 - 0.5 cos(2ni / М) + 0.08 cos(4ni / М).

Оконная функция Блэкмана. Данное соотношение справедливо в диапазоне О... М;

вне этого диапазона значения нулевые.

(16.1)

(16.2)

На Рис. 16.2а изображены обе оконные функции для М = 50 (т. е. для фильтра

51-го порядка). Ответ на вопрос о том, какая из двух функций лучше,. зависит от

конкретно решаемой задачи. Как видно на (б), АЧХ оконного фильтра Хэмминга

спадает в переходной зоне приблизительно на 20% быстрее, чем АЧХ фильтра

Блэкмана. Но, судя по (в), фильтр Блэкмана имеет более сильное затухание в зоне

непрозрачности. В данном случае коэффициент передачи фильтра Блэкмана в зоне

непрозрачности составляет - 74 дБ (- 0.02%), а фильтра Хэмминга – всего лишь -53 дБ (-0.2%). Неразличимый на приведенных графиках уровень неравномерности

АЧХ в полосе пропускания равен приблизительно 0.02% у фильтра

Блэкмана и 0.2% у фильтра Хэмминга. Чаще всего предпочтение отдают фильтру

Блэкмана, так как медленный спад его АЧХ представляется менее серьёзным недостатком,

чем слабое затухание в диапазоне подавляемых фильтром частот.

Имеются и другие оконные функции, о существовании которых необходимо

знать. Приведем ряд функций, уступающих окнам Блэкмана и Хэмминга, но всё

же иногда используемых на практике. Треугольная оконная функция получила

название окн.а Бартлетта. Окно Хеннинга, которое также называют функцией приподнятого

косинуса, описывается выражением w(i] = 0.5 - 0.5 cos(2ni/М).

СоответствуюЩие этим двум оконным функциям фильтры практически не отличаются

по скорости спада АЧХ в переходной зоне от фильтра Хэмминга, но заметно

уступают ему по затуханию (коэффициент передачи в зоне подавления равен

-25 дБ, или 5.6%, у фильтра Бартлетта и -44 дБ, или 0.63%, у фильтра

Хеннинга). В научной литературе часто встречается понятие прямоугольного окна.

Прямоугольная оконная функция не оказывает никакого формирующего действия,

оставляя усеченную импульсную характеристику (в) без изменений. Скорость

спада АЧХ прямоугольного оконного фильтра в 2.5 раза выше, чем у фильтра

Блэкмана, однако коэффициент передачи в зоне непрозрачности равен всего

лишь -21 дБ (8.9%).