Рекурсивный метод

Предположим, вам необходимо выделить информационную составляющую,

содержащуюся в сигнале х[ ]. Для вас это очень важно, и вы обращаетесь к очень

крупному специалисту, профессору, доктору математики, чтобы он помог вам в

обработке имеющихся данных. Задача профессора состоит в том, чтобы в результате

фильтрации получить из сигнала х[ ] сигнал у[ ], в котором информация содержится

в форме, доступной для восприятия. Профессор приступает к последовательному

вычислению отсчётов сигнала у[], руководствуясь каким-то одному

ему известным алгоритмом, который он нашёл где-то в глубинах своих чрезвычайно

обширных научных знаний. И вдруг на очередном этапе вычислений происходит

неприятное событие. Профессор начинает бессвязно бормотать что-то,

упоминая частные преобразования, аналитические сингулярности и других «чудовищ

» из математического «кошмара». Совершенно ясно, что профессор «тронулся

умом». С тревогой вы наблюдаете за тем, как его, а вместе с ним и этот алгоритм

увозят люди в белых халатах.

В отчаянии просматривая записи профессора, пытаясь найти там используемый

им алгоритм, вы обнаруживаете, что он уже вычислил отсчёты у[О]... у[27] и

собрался рассчитать у[28]. Обозначим через п номер отсчёта, вычисляемого на

текущей итерации (Рис. 19.1). Тогда если у[п] - 28-й отсчёт выходной последовательности,

то у[п- 1) - 27-й отсчёт, у[п-2) - 26-й отсчёт и т. д. Аналогично

х[п] - 28-й отсчёт входной последовательности, х[п-1 ] - 27-й и т. д. Чтобы ра- зобраться в алгоритме, попытаемся ответить на вопрос: какая информация бьmа

доступна профессору при вычислении отсчёта у[п] на последней выполняемой

им итерации?

превышает 12, что связано с проблемой устойчивости (на выходе фильтра могут

возникнуть неконтролируемый рост сигнала или свободные колебания). Примером

программной реализации рекурсивного фильтра является Проrрамма 19.1.

Главное достоинство рекурсивных филыров заключается в том, что при их реализации

удаётся избежать использования операции свёртки, требующей большого

количества арифметических операций. Для примера подадим на вход рекурсивного

фильтра дискретную дельта-функцию (единичный импульс). Реакцией

на такое воздействие будет импульсная характеристика фильтра, которая представляет

собой синусоидальные колебания с убывающей по экспоненциальному

закону амплитудой. Поскольку такая импульсная характеристика бесконечна по

времени, рекурсивные фильтры называют фильтрами с бесконечной импульсной

характеристикой (БИХ). В действительности происходит свёртка входного сигнала

с бесконечной импульсной характеристикой при конечном числе весовых коэффициентов.

Взаимосвязь между импульсной характеристикой фильтра и его весовыми коэффициентами

определяется при помощи Z-преобразования, о котором пойдёт

речь в Главе 33. Z-преобразование используется для решения следующих задач:

определение частотной характеристики по весовым коэффициентам рекурсивного

фильтра, объединение последовательных и параллельных звеньев в единый

фильтр, проектирование рекурсивных систем, повторяющих по своим свойствам

аналоговые фильтры, и т. д. к· сожалению, Z-преобразование требует специальных

знаний из области высшей математики и оказывается для многих слишком

сложным. Данное преобразование создано для специалистов в области ЦОС и

цифровых систем.

Есть три способа, позволяющих найти коэффициенты рекурсивного фильтра

для тех, кто не владеет Z-преобразованием. Первый способ: в данной главе содержатся

уравнения для расчёта нескольких типов простейших рекурсивных фильтров.

Второй способ: в Главе 20 приводится компьютерная программа для расчёта

более сложных НЧ- и ВЧ-фильтров Чебышева. Третий способ: в Главе 26 рассмотрен

итеративный метод построения рекурсивных фильтров с произвольной формой

частотной характеристики.