Модифицированные однородные фильтры

В своей профессиональной деятельности разработчикам цифровых фильтров

приходится иметь дело с информацией, заложенной либо во временной, либо в

частотной области (кодирование во временной и частотной области), и никогда информация

не размещается в этих двух областях одновременно. Однако встречаются

практические приложения, в которых сигнал все же необходимо рассматривать

сразу в двух областях. Одним из таких «неприятных» примеров служит телевизионный

сигнал. Видеоинформация кодируется во временной области, так как распределение

яркости по элементам изображения закладывается в форму передаваемого

сигнала. Однако в процессе передачи видеосигнала огромное значение

имеет его частотная структура: диапазон занимаемых частот, разделение частотных

диапазонов для изображений и звука, подавление и восстановление постоянной

составляющей и т. п. Другим примером является учёт электромагнитных

помех, которые удобнее анализировать в частотной, а не во временной области.

Типовыми помехами, например, для обычных научных и инженерных измерений,

являются: на частоте 60 Гц - помеха от сетей электропитания; на частоте 30 кГц -

от импульсных источников питания; на частоте 1320 кГц - со стороны радиостанций

FМ-диапазона. Модифицированные однородные фильтры отличаются от обычных

более чёткой частотной локализацией и поэтому могут более эффективно использоваться

в подобных приложениях.

Фильтры с многократной обработкой представляют собой последовательное

соединение нескольких однородных фильтров, т. е. одна и та же процедура однородной

фильтрации повторяется в них последовательно несколько раз. На

Рис. 15.За показаны импульсные характеристики, построенные для фильтров с

одной, двумя и четырьмя ступенями обработки (каждая ступень - однородный

фильтр 7-го порядка). При наличии двух ступеней фильтр имеет треугольную импульсную

характеристику, поскольку треугольная характеристика может быть

представлена как результат свёртки двух прямоугольных характеристик. При увеличении

количества ступеней до четырёх и более форма импульсной характеристики

приближается к форме кривой Гаусса (согласно центральной предельной теореме).

По переходным характеристикам (б) видно, что для фильтров с

многократной обработкой характерен s-образный переходный процесс в отличие

от однородного фильтра, которому соответствует линейно нарастающая реакция.

Частотные характеристики, приведённые на (в и г), получены в результате многократного

умножения АЧХ выражения (15.2) на саму себя. Умножение производится

столько раз, сколько последовательных звеньев содержится в фильтре. Такой

подход оказывается возможным в силу того, что каждой операции свёртки во

временной области соответствует операция умножения в частотной области.

На Рис. 15.4 изображены ЛАЧХ для ещё двух модификаций однородных фильтров.

Как уже говорилось выше (Глава 11), если импульсная характеристика фильтра

имеет вид кривой Гаусса, то и его АЧХ является также гауссовой. Импульсные

характеристики систем как естественного, так и искусственного происхождения

очень часто описываются кривой Гаусса. К примеру, если на вход длинного оптического

кабеля подать короткий импульс света, то на выходе кабеля будет принят

колоколообразный импульс, форма которого описывается функцией Гаусса. Та- кой эффект связан с различием длин траекторий распространения фотонов. Уникальные

свойства гауссовой импульсной характеристики широко используются в

системах обработки изображений при реализации алгоритма вычисления двумерной

свёртки (Глава 24). На Рис. 15.4 рассматривается фильтр с окном Блэкмана

(термин «ОКНО» подразумевает принаД.лежность фильтра Блэкмана к классу оконных

фильтров.) Подробнее об оконной функции Блэкмана будет сказано в Г.лаве

16 ((16.2) и Рис. 16.2). По своему виду эта функция близка к гауссовой.

Какие же преимуrnества характерны для рассмотренных выше модификаций

однородных фильтров? Основных преимуrnеств - три. Во-первых, модифицированные

однородные фильтры позволяют достичь большего подавления в зоне непрозрачности,

чем обычные однородные фильтры. Во-вторых, их импульсная характеристика

на краях плавно сходится к нулю. Как вы помните, каждый отсчёт

выходного сигнала определяется взвешенной суммой группы входных отсчётов.

Поэтому сходимость к нулю импульсной характеристики означает, что отсчёты,

близкие к центру такой группы, оказывают более сильное влияние на формирование

выходного отсчёта. В-третьих, переходные процессы модифицированных

фильтров оказываются более плавными и не имеют резких изгибов. Последние

два преимуrnества менее важны, хотя, надо заметить, суrnествует ряд приложений,

в которых они оказываются очень полезными.

Модифицированные однородные фильтры и обычные однородные фильтры

проявляют приблизительно равные возможности при решении задачи подавления

шума при одновременном сохранении скорости нарастания переходной характеристики.

Точное решение вопроса, какой из фильтров лучше, связано с тем,

каким образом мы измеряем длительность переходного процесса. Если считать, что

переходный процесс - это время нарастания переходной характеристики от О до

100% её установившегося значения, то преимущество оказьmается на стороне

обычного однородного фильтра, как бьшо показано выше. Если длительность переходного

процесса измерять интервалом времени, в течение которого переходная

характеристика нарастает от 10 до 90% своей установившейся величины, то

фильтр Блэкмана несомненно превосходит однородный фильтр. Так что спор по

этому вопросу носит исключительно теоретический характер.

Наиболее заметным является различие в объёмах вычислительных затрат. Рекурсивные

однородные фильтры, речь о которых поЙдет далее, могут с лёгкостью

быть реализованы на обычном персональном компьютере. Это самые экономные

по вычислительным затратам фильтры. Затраты на реализацию фильтров с многократной

обработкой несколько больше, но всё же невелики. А вот фильтры Гаусса

и Блэкмана требуют очень большого объёма вычислений, так как основаны

на операции свёртки. Если считать, что умножение выполняется приблизительно

в 10 раз дольше, чем сложение, то фильтр Гаусса 100-го порядка требует примерно

в 1000 раз больше вычислений, чем рекурсивный однородный фильтр.