Цифровые фильтры. Построение режекторных и полосовых фильтров

При проектировании высокочастотных, полосовых и режекторных (заграждающих)

фильтров предварительно рассчитывают низкочастотный фильтр

(НЧ-фильтр), а затем преобразуют его к желаемому виду. Именно по этой причине,

говоря о расчёте фильтров, чаще всего описывают только НЧ-фильтры. Существует

два метода преобразования НЧ-фильтра в высокочастотный (ВЧ-фильтр) - инверсия

АЧХи обращение АЧХ Оба метода нашли широкое распространение.

Пример инверсии показан на Рис. 14.5. На (а) изображена импульсная характеристика

оконного НЧ-фильтра (Глава 16). Такой КИХ-фильтр имеет 51 весовой

коэффициент, причём многие из коэффициентов настолько малы, что на графике

неотличимы от нуля. АЧХ фильтра (б) можно получить, дополнив импульсную

характеристику 13 нулями и применив БПФ 64-го порядка. Преобразование

НЧ-фильтра в ВЧ-фильтр выполняется в два действия: 1) меняем арифметические

знаки всех коэффициентов фильтра; 2) добавляем единицу к среднему отсчёту,

относительно которого импульсная характеристика симметрична. В результате

получаем ВЧ-фильтр, импульсная характеристика и АЧХ которого показаны на

(в и г). Инверсия АЧХ выражается в перевороте графика АЧХ сверху вниз. При

этом полоса пропускания превращается в зону подавления, а зона подавления -

в полосу пропускания. Это значит, что НЧ-фильтр превращается в ВЧ-фильтр,

ВЧ-фильтр - в НЧ-фильтр, полосовой - в режекторный, а режекторный - в полосовой.

Рис. 14.6 помогает разобраться в том, почему рассмотренное нами преобразование

импульсной характеристики фильтра приводит к инверсии его частотной

характеристики. Как показано на (а), входной сигнал х[п] поступает одновременно

на два звена, одним из которых является НЧ-фильтр с импульсной характеристикой

h[n], а другим - звено задержки (всепропускающий фильтр), импульсная

характеристика которого описывается смещённой дискретной

дельта-функцией 8[п]. Результирующий выходной сигнал у[п] равен разности

сигналов, полученных на выходе звена задержки и на выходе НЧ-фильтра. Так

как низкочастотные компоненты спектра вычитаются из исходного сигнала, то в

выходном сигнале остаются только верхние частоты, а это значит, что мы получи -

ли ВЧ-фильтр.

Программная реализация данного метода предполагает два этапа: сначала

сигнал обрабатывается НЧ -фильтром, а затем результат фильтрации вычитается

из исходного сигнала. Две эти операции могут, однако, быть заменены одной

процедурой, если объединить весовые коэффициенты двух соответствующих

фильтров. Как указывалось в Главе 7, при параллельном соединении двух филь- трав их импульсные характеристики складываются. Как показано на (б), весовые

коэффициенты ВЧ-фильтра могут быть найдены в результате вычитания коэффициентов

НЧ-фильтра из дискретной дельта-функции: 8[п] - h[n]. То есть необходимо

выполнить знаковую инверсию всех элементов массива весовых коэффициентов

исходного ВЧ -фильтра, после чего добавить единицу к коэффициенту,

расположенному в середине массива.

В таком методе очень важно, чтобы низкочастотные компоненты спектра

входного сигнала появлялись на выходе НЧ -фильтра и на выходе линии задержки

в одной фазе. Обеспечить идеальное вычитание сигналов невозможно, поэтому

появляются два требования: 1) импульсная характеристика исходного НЧ -фильтра

должна обладать чётной симметрией (т. е. отвечать требованиям линейности

фазы); 2) единицу необходимо добавлять к отсчёту, совпадающему с центром

симметрии.

Другой метод получения ВЧ-фильтра - метод обращения АЧХ - проиллюстрирован

на Рис. 14.7. Импульсная характеристика НЧ-фильтра (а) и его АЧХ (б)

остались теми же, что и в приведённом ранее примере. Импульсная характерис- тика ВЧ-фильтра (в) образуется путём изменения арифметического знака у каждого

второго отсчёта исходной импульсной характеристики НЧ-фильтра (а). Из

(г) следует, что АЧХ ВЧ-фильтра получается поворотом АЧХ НЧ-фильтра слева

направо,т. е. точки с абсциссами О и 0.5 меняются местами. Так как граничная

частота НЧ-фильтра равна 0.15, то граничная частота ВЧ-фильтра равна 0.35.

Изменение арифметического знака каждого второго коэффициента эквивалентно

умножению отсчётов импульсной характеристики на отсчёты синусоиды,

имеющей относительную частоту 0.5. В Главе 10 было показано, что такая операция

соответствует сдвигу в частотной области на 0.5. Представим себе, что на (б)

изображены не только положительные, но и отрицательные частоты. Диапазон

частот -0.5... 0 является зеркальным отражением диапазона 0."0.5. Именно эти

отрицательные частоты попадают в результате операции обращения АЧХ в тот

диапазон, который мы видим на (г).

На Рис. 14.8 и 14.9 поясняется процесс получения импульсных характеристик

полосовых и режекторных фильтров с помощью комбинации НЧ и ВЧ-фильтров.

Основное отличие в способе получения характеристик полосовых и режекторных

фильтров состоит в том, что для первых выполняется свёртка импульсных характеристик

НЧ и ВЧ-фильтров, тогда как для вторых - простое поэлементное сложение.

Это значит, что в первом случае используется последовательное включение

фильтров, а во втором - параллельное (Глава 7). Один и тот же фильтр можно

получить, используя самые разные комбинации описанных приемов. Например, можно получить полосовой фильтр, выполнив сначала сложение двух импульсных

характеристик, а затем воспользовавшись методом инверсии или обращения

АЧХ. Все описанные нами методы работают замечательно, но и для них существуют

свои особенности.