Цифровые фильтры. Частотные характеристики

На Рис. 14.3 рассмотрены частотные характеристики четырёх основных типов

фильтров. Эти фильтры предназначены для того, чтобы пропускать без изменения

одни частоты входного сигнала и задерживать другие. Диапазон пропускае-

мых фильтром частот называется полосой пропускания, а диапазон задерживаемых

частот - зоной подавления. Между ними располагается переходная зона фильтра.

Если фильтр имеет узкую переходную зону, то говорят, что он обладает высокой частотной избирательностью. Граничная частота, разделяющая полосу пропускания

и переходную зону, называется частотой среза. Для аналоговых фильтров

частота среза определяется точкой, в которой АЧХ спадает до уровня 0.707

(-3 дБ). Для цифровых фильтров нет таких жестких стандартов, и граничная частота

часто определяется точкой, в которой АЧХ спадает до одного из следующих

уровней: 99, 90, 70.7 и 50%. На Рис. 14.4 показаны три показателя, характеризующие качество работы

фильтра в частотной области. Способность фильтра разделять близкие частоты

называется частотной избирательностью и определяется крутизной спада АЧХ

(а и б). Для устранения искажений, вносимых фильтром в пропускаемый им сигнал,

необходимо, чтобы нерqвномерность АЧХ в полосе пропускания стремилась к

нулю (в и г). Для эффективного подавления частот в зоне непрозрачности необходим

высокий уровень затухания (д и е).

Почему среди этих параметров нет ни одного, характеризующего фазу?

Во-первых, в большинстве практических приложений, связанных с обработкой

сигналов в частотной области, фаза не играет роли. Например, в звуковоспроизводящей

аппаратуре фаза может принимать совершенно случайные значения и

практически не несёт в себе никакой информации. Во-вторых, при расчёте цифровых

фильтров очень легко добиться того, чтобы фазо-частотная характеристика

получилась идеальной, т. е. чтобы все частоты, лежащие в полосе пропускания,

проходили на выход фильтра с нулевым фазовым сдвигом (глава 19). Заметим, что

для аналоговых фильтров данная проблема является «ужасно» сложной.

В предыдущих главах уже говорилось о том, как с помощью ДПФ найти по импульсной

характеристике системы её частотную характеристику. Кратко повторим

здесь этот материал. Самый быстрый способ вычисления ДПФ заключается виспользовании

алгоритма БПФ, описанного в Главе 12. Алгоритм БПФ позволяет для заданной импульсной характеристики фильтра длиной N отсчётов найти его частотную

характеристику, вещественная и мнимая части которой состоят из N дискретных

отсчётов каждая. Но лишь отсчёты с порядковыми номерами O... N/2 несуг полезную

информацию, а остальные являются их зеркальным отражением и,

следовательно, могут быть исключены из дальнейшего рассмотрения (эти отсчёты

частотной характеристики соответствуют отрицательным значениям частоты). Разделение на вещественную и мнимую компоненты неудобно для человеческого

восприятия, поэтому предпочтительнее оказывается полярная форма представления

комплексных характеристик (Глава 8). Комплексная частотная характеристика

при этом оказывается разбитой на амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики,

каждая из которых представлена дискретными отсчётами с порядковыми

номерами O... N/2 (всего N/2 + 1 отсчёт). Например, если исходная импульсная

характеристика представлена 256 дискретными отсчётами, то в полученной

частотной характеристике следует оставить отсчёты с номерами 0... 128. При этом

отсчёт номер О соответствует постоянной составляющей (нулевой частоте), а отсчёт

номер 128 - половине частоты дискретизации. Запомните, что спектры дискретных

сигналов рассматриваются на частотах, не превышающих половины частоты

дискретизации: спектр дискретного сигнала на более высоких частотах периодически

повторяет спектр основного (низкочастотного) диапазона.

Число отсчётов импульсной характеристики не может быть выбрано произвольным.

Например, требуется найти частотную характеристику КИХ-фильтра,

имеющего 80 весовых коэффициентов. Поскольку БПФ можно применить только

к массиву дискретных отсчётов, размер которого равен степени числа 2, то необходимо

дополнить имеющийся изначально массив из 80 весовых коэффициентов

48 нулями, чтобы получить массив длиной 128 отсчётов. Дополнение нулями

не изменяет импульсную характеристику фильтра. Чтобы лучше понять это,

представьте себе весь процесс выполнения дискретной свёртки. Добавленные к

импульсной характеристике нулевые отсчёты не оказывают влияния на формирование

результирующей последовательности.

Продолжая применять эту операцию, можно и далее добавлять нули к импульсной

характеристике, доведя её длину, скажем, до 256, 512 или 1024 отсчётов.

Увеличение длины импульсной характеристики обеспечивает более плотное размещение

отсчётов в полученной в результате применения алгоритма БПФ частотной

характеристике. То есть отсчёты полученной частотной характеристики будут

расположены чаще на интервале частот от постоянной составляющей до

половины частоты дискретизации. В пределе при дополнении импульсной характеристики

бесконечным числом нулей расстояние между соседними отсчётами

получаемой частотной характеристики стремится к нулю, а сами отсчёты сливаются

в одну непрерывную кривую. Можно сказать, что частотная характеристика

фильтра является непрерывной функцией, заданной на интервале от постоянной

составляющей до половины частоты дискретизации, а применение БПФ соответствует

её дискретизации с некоторым постоянным шагом. До какой длины

нужно дополнить импульсную характеристику фильтра, для того чтобы найти его

частотную характеристику? Для начала можно попробовать дополнить импульсную

характеристику нулями до 1024 отсчётов, а затем уже изменить это значение

в большую или меньшую сторону, если выяснится, что разрешение по частоте

слишком мало или что время вычисления недопустимо велико.

Учтите, что понятия «Хороший» и «Плохой», которыми мы часто пользовались

в этой главе, носят идеализированный характер и в ряде случаев необходим дополнительный

более глубокий анализ. На снятой ЭКГ в рассмотренном выше

примере присутствуют наводки от сети питания. Хотя информация представлена

во временной области, от помех проще всего избавиться, «вырезав» соответствующую

полосу частот, т. е. рассматривая сигнал в частотной области. Наилучшее решение данной проблемы заключается в достижении некоторого компромисса

между повышением качества во временной и частотной областях. Такой комбинированный

критерий несколько отличается от введённых выше показателей качества

фильтра. Запомните первое правило обучения: в любой книжной фразе

следует не раз усомниться и осмыслить её суть, а не принимать утверждения как

неоспоримую истину.