Теорема Штурма

Пусть — ненулевой многочлен с вещественными коэффициентами, — некоторый ряд Штурма для него, [a, b] — промежуток вещественной прямой, причём . Тогда число различных корней многочлена на промежутке равно , где — значение ряда Штурма в точке .

Ряд Штурма существует для любого ненулевого вещественного многочлена.
Пусть многочлен , отличающийся от константы, не имеет кратных корней. Тогда ряд Штурма для него можно построить, например, следующим образом:

· ;

· ;

· Если () имеет корни, то , где — остаток от деления многочлена на многочлен в кольце многочленов , иначе .

Для произвольного многочлена, отличающегося от константы, можно положить

,

и далее следовать приведенному выше способу. Здесь — наибольший общий делитель многочленов и . Если многочлен есть ненулевая константа, то его ряд Штурма состоит из единственного многочлена .

Задача отделения корней многочлена.

Методом Штурмана так же решается задача отделения корней т.е. нахождения таких интервалов каждый из которых содержит ровно 1 корень. если x- корень вещественного многочлена f(x)= ax_n+ a_n-1x_n-1+…+a₁x+a₀ A наибольший по модулю коэффициент из всех a_i, то |x|<(A/|a_n|)+1