Минор порядка k, Количество миноров порядка k. Минорный ранг матрицы. Ранговый минор

1) Пусть A-прямоугольная матрица размера m x n, k-натуральное число не превышающее min(m,n).

Рассмотрим какие-либо k строк матрицы A с номерами i₁<i₂<...<i_k и какие либо k столбов с номерами j₁<j₂<...<j_k, а также (k x k)-матрицу, получаемую на пересечении указанных строк и столбцов. Определитель этой матрицы называется минором порядка k для матрицы A и обозначается:

2) Для подсчета количества миноров порядка k воспользуемся комбинаторной формулой для числа сочетаний (из n элементов по k)

(количество упорядоченных по возр. наборов из k столбцов)

Аналогично количество упорядоченных по возр. наборов из номеров строк равно

При образовании минора k-го порядка любой из подсчитанных выше наборов строк может сочетаться с любым из наборов столбцов. Поэтому общее количество миноров порядка k будет равно произведению .

3) Минорным рангом матрица A называется наивысший порядок миноров этой матрицы, отличных от нуля. (Если таковых вообще нет, то минорный ранг считается равным нулю). Обозн. rank_мин(A)

4) Если rank_мин(A)=r, то всякий ненулевой минор порядка r называется ранговым минором для матрицы A. (где r - неотрицательное целое число)