Потенциальное поле

Рассмотрим некоторое скалярное поле F(М}. Если в каждой точке М из G определен вектор grad F, то поле этого вектора наз потенциальным полем. Само скалярное поле называется при этом потенциалом векторного поля, а вектор, определяющий потенци­альное поле, часто наз потенциальным вектором, т. е. век­тор а(М) потенциальный, если найдется такая скалярная функция F{М). Что a= grad F=∂F/∂x*I+∂F/∂y*j+∂F/∂z*r.—1--

Возникает вопрос, при каких условиях данное векторное поле а{М} потенциальное. Пусть Р,Q и R -проекции вектора а на оси координат Оx, Оу, Оz соответственно, т. е. a=a(M)=Pi+Qj+Rr.В силу соотношения (1) векторное поле a(М) является потенци­альным, если найдется функция F(М) такая, что ∂F/∂x=P, ∂F/∂y=Q, ∂F/∂z=R—2--

Выражение Pdx+Qdy+Rdz полный дифферен­циал некоторой функции Р(х, у, z} в том и только в том случае,когда Р,Q,Rудовлетворяют условиям ∂P/∂y=∂Q/∂x; ∂Q/∂z=∂R/∂y; ∂R/∂x=∂P/∂z—3--

Но если Pdx+Qdy+Rdz=dF, то справедливы и равенства (2), т. е. условие (3) как раз и означает, что данное векторное поле потенциальное. Функция F(х,у,z) в этом случае называется по­тенциальной функцией поля.

Примером потенциального поля служит поле сил тяготения.

Скалярный потенциал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см.Потенциал.

Скалярный потенциал векторного поля (чаще просто потенциал векторного поля) — это скалярная функция такая, что во всех точках области определения поля

где обозначает градиент . В физике обычно потенциалом называют величину, противоположную по знаку (потенциал силы, потенциал электрического поля).

Потенциальные поля[править | править исходный текст]

График гравитационного потенциала однородного диска в его плоскости.

Поле называется потенциальным, если для него существует скалярный потенциал. Для потенциального полякриволинейный интеграл между двумя точками

не зависит от пути интегрирования , соединяющего эти точки. Это равносильно тому, что интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю:

Непрерывное векторное поле в односвязной областитрёхмерного пространства потенциально тогда и только тогда, когда оно безвихревое:

Обобщением этой теоремы на случай произвольного конечномерного пространства является лемма Пуанкаре. Для таких пространств существует изоморфизм между векторными полями и 1-формами , при этом вопрос о существовании потенциала сводится к вопросу об обращениивнешнего дифференцирования. Лемма Пуанкаре утверждает, что любая замкнутая форма в односвязной области конечномерного пространства точна.

Заметим, что в общем случае неодносвязного пространства условия замкнутости недостаточно. Легко проверить, что поле на плоскости

является безвихревым в любой односвязной области, не содержащей точку , однако

для любого контура , один раз обходящего вокруг начала координат против часовой стрелки.

Опера́тор на́бла (оператор Гамильтона) — векторныйдифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла) (в Юникоде U+2207, ∇). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах^[1]оператор набла определяется следующим образом:

,

где — единичные векторы по осям x, y, z соответственно.

Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа: grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор), а также оператор Лапласа (см. ниже). Широко употребляется в описанном смысле в физике и математике (хотя иногда графический символ используется также для обозначения некоторых других, хотя в некотором отношении не совсем далеких от рассмотренного, математических объектов, например, ковариантной производной).

Под n -мерным оператором набла подразумевается вектор с компонентами в n -мерном пространстве^[2].

Иногда, особенно при начертании от руки, над оператором набла рисуют стрелку: — чтобы подчеркнуть векторный характер оператора. Смысл такого начертания ничем не отличается от обычного .

· Иногда (особенно когда речь идет только о применении к скалярным функциям), оператор набла называют оператором градиента, каковым он в применении к скалярным функциям (полям) и является.

· Замечание: в физике в наше время название оператор Гамильтона по отношению к оператору набла стараются не употреблять, особенно в квантовой физике, во избежание путаницы с квантовым гамильтонианом, имеющим, в отличие от классического, операторную природу.

·

· Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом . Функции он ставит в соответствие функцию .

· Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: , таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков)потенциального векторного поля в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом , то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа унитарен.

Вопрос

- (по моему легче учить из тетради по практике. Тут пизда)

- ага(

В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.

Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей.

Сначала рекомендуем ознакомиться с определениями и понятиями теории дифференциальных уравнений. Далее можно переходить к видам дифференциальных уравнений.

Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия.

Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу методы интегрирования.

Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений.

Напомним, что , если y является функцией аргумента x.