Вопрос. Дивергенцией или расходимостью векторного поля называется скалярная функция, определяемая равенством:

Дивергенцией или расходимостью векторного поля называется скалярная функция, определяемая равенством:

Отметим свойства дивергенции (справедливость которых рекомендуется показать самостоятельно):

где U – скалярная функция.

Свойства:

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

Линейность

для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b.

Если φ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

или

Свойство, связывающее векторные поля F и G, заданные в трехмерном пространстве, с ротором:

или

Дивергенция от градиента есть лапласиан:

Дивергенция от ротора:

Теорема остроградсского-Гаусса:

Полный поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность произвольной формы численно равен алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на электрическую постоянную

		(1.10)

Пусть в некоторой области пространства известна объемная плотность зарядов r=r(x, y,z) и эта функция непрерывна аналогично представлению о непрерывном распределении вещества.

Рассмотрим в этом пространстве вблизи некоторой точки с координатами x, y,z настолько малый объем dV=dx·dy·dz, что объемная плотность зарядов в нем практически постоянна. Тогда заряд этого объема равен dq=r(x, y,z)·dV

Найдем поток через поверхность граней перпендикулярных оси ОХ:

Аналогично можно рассчитать поток через две пары других оснований.

Тогда поток через поверхность всех граней объема:

РИС.17 -

Физический смысл дивергенции вектора напряженности в том, что она равна числу линий напряженности выходящих (входящих) из единичного объема, т. е. характеризует расходимость (сходимость) линий напряженности.

Согласно теореме Остроградского-Гаусса в интегральной форме: , - Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса.

Эта форма применима лишь при условии, если объемная плотность зарядов конечная величина, является следствием интегральной формы и констатирует, что заряды являются источниками (стоками) линий вектора напряженности.

Если ввести векторный оператор Гамильтона:

,

Можно записать:

Вопрос

Циркуляция векторного поля

Циркуля́цией ве́кторного по́ля по данному замкнутому контуру Γ называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по Γ. По определению

где — векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области D, содержащей в себе контур Γ, — бесконечно малое приращение радиус-вектора вдоль контура. Окружность на символе интеграла подчёркивает тот факт, что интегрирование производится по замкнутому контуру. Приведенное выше определение справедливо для трёхмерного случая, но оно, как и основные свойства, перечисленные ниже, прямо обобщается на произвольную размерность пространства.

Свойства циркуляции

Свойство аддитивности циркуляции: циркуляция по контуру есть сумма циркуляций по контурам и , то есть