Дифференциальные уравнения высших порядков

· Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Порядок дифференциального уравнения , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-k заменой .

В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y.

Например, дифференциальное уравнение после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.

Если дифференциальное уравнение не содержит аргумента x, то есть, имеет вид , то его порядок может быть снижен на единицу заменой , где p(y(x)) будет сложной функцией. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим

и так далее.

Подставив эти результаты в исходное уравнение, получаем дифференциальное уравнение не единицу меньшего порядка.

К примеру, дифференциальное уравнение заменой приводится к уравнению с разделяющимися переменными .

Подробное решение подобных примеров представлено в статьедифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка.

· Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и .

Чтобы определить общее решение таких видов дифференциальных уравнений, во-первых, требуется найти корни характеристического уравнения . В этом Вам может помочь статья решение уравнений высших степеней. Далее, отталкиваясь от значений корней характеристического уравнения, общее решение ЛОДУ записывается в стандартной форме, а общее решение неоднородного уравнения представляется суммой , где - частное решение неоднородного дифференциального уравнения. можно определить методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примера ЛНДУ с постоянными коэффициентами приведем , ему соответствует ЛОДУ .

Подробное описание теории и детальный разбор решения примеров смотрите в разделе линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

· Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков и .

Общее решение ЛНДУ высших порядков ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство в тождество. Частные решения обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

Когда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения найдено, частное решение соответствующего неоднородного уравнения можно определить методом вариации произвольных постоянных.

Итак, .

Краткое описание теории приведено в статье линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

К началу страницы

Системы дифференциальных уравнений вида .

В разделе системы дифференциальных уравнений изложена суть их решения и разобраны примеры.

Вопрос

На данном уроке мы рассмотрим так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Наряду с уравнениями с разделяющимися переменными и линейными неоднородными уравнениями этот тип ДУ встречается практически в любой контрольной работе по теме диффуров. Если Вы зашли на страничку с поисковика или не очень уверенно ориентируетесь в дифференциальных уравнениях, то сначала настоятельно рекомендую проработать вводный урок по теме – Дифференциальные уравнения первого порядка. Дело в том, что многие принципы решения однородных уравнений и используемые технические приемы будут точно такими же, как и для простейших уравнений с разделяющимися переменными.

В чём отличие однородных дифференциальных уравнений от других типов ДУ? Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

Решение:
Что в первую очередь следует проанализировать при решении любого дифференциального уравнения первого порядка? В первую очередь необходимо проверить, а нельзя ли сразу разделить переменные с помощью «школьных» действий? Обычно такой анализ проводят мысленно или пытаются разделить переменные на черновике.

В данном примере переменные разделить нельзя (можете попробовать поперекидывать слагаемые из части в часть, повыносить множители за скобки и т.д.). Кстати, в данном примере, тот факт, что переменные разделить нельзя, достаточно очевиден ввиду наличия множителя .

Возникает вопрос – как же решить этот диффур?

Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так:

В исходное уравнение:

вместо подставляем , вместо подставляем , производную не трогаем:

Буква лямбда – это некоторый абстрактный числовой параметр, дело не в самих лямбдах, и не в их значениях, а дело вот в чём:

Если в результате преобразований удастся сократить ВСЕ «лямбды» (т.е. получить исходное уравнение), то данное дифференциальное уравнение является однородным.

Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени:

Теперь в правой части выносим лямбду за скобки:

Обе части уравнения можно сократить на эту самую лямбду:

В результате все лямбды исчезли как сон, как утренний туман, и мы получили исходное уравнение.

Вывод: Данное уравнение является однородным

Поначалу рекомендую проводить рассмотренную проверку на черновике, хотя очень скоро она будет получаться и мысленно.

Как решить однородное дифференциальное уравнение?

У меня очень хорошая новость. Абсолютно все однородные уравнения можно решить с помощью одной-единственной (!) стандартной замены.

Функцию «игрек» необходимо заменить произведением некоторой функции (тоже зависящей от «икс») и «икса»:

Выясняем, во что превратится производная при такой замене, используем правило дифференцирования произведения. Если , то:

Подставляем и в исходное уравнение :

Что даст такая замена? После данной замены и проведенных упрощений мы гарантировано получим уравнение с разделяющимися переменными. Еще раз подчеркиваю, для ЛЮБОГО однородного уравнения нужно провести одну и ту же замену: строго и, соответственно, строго .

После подстановки проводим максимальные упрощения уравнения:

Далее алгоритм работает по накатанной колее уравнения с разделяющимися переменными.

Если – это функция, зависящая от «икс», то .
Таким образом:

Разделяем переменные, при этом в левой части нужно собрать только «тэ», а в правой части – только «иксы»:

Переменные разделены, интегрируем:


Согласно моему первому техническому совету из статьи Дифференциальные уравнения первого порядка константу во многих случаях целесообразно «оформить» в виде логарифма.

После того, как уравнение проинтегрировано, нужно провести обратную замену, она тоже стандартна и единственна:
Если , то
В данном случае: