В 19-ти случаях из 20-ти решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла

Ответ: общий интеграл:

Почему почти всегда ответ однородного уравнения дается в виде общего интеграла? В большинстве случаев невозможно выразить «игрек» в явном виде (получить общее решение), а если и возможно, то чаще всего общее решение получается громоздким и ужасно корявым.

Так, например, в рассмотренном примере, общее решение получить можно:

– общее решение.
Ну, еще куда ни шло. Хотя, согласитесь, все равно кривовато смотрится.

Кстати, в данном примере я не совсем «прилично» записал общий интеграл: . Это не ошибка, но в «хорошем» стиле общий интеграл принято записывать в виде .

Для этого сразу после интегрирования уравнения, константу следовало записать без всякого логарифма:
(вот и исключение из правила)
И после обратной замены получить общий интеграл в «классическом» виде:

Полученный ответ можно проверить. Для этого нужно продифференцировать общий интеграл, то есть найти производную от функции, заданной неявно:

Избавляемся от дробей, умножая каждую часть уравнения на :

Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено правильно.

Желательно всегда проводить проверку. Но однородные уравнения неприятны тем, что проверять их общие интегралы обычно трудно – для этого необходима весьма и весьма приличная техника дифференцирования. В рассмотренном примере в ходе проверки уже пришлось находить не самые простые производные (хотя сам по себе пример достаточно простой). Если сможете проверить – проверяйте!

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f (x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f (x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:

где p (x) и h (y) − непрерывные функции.

Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h (y):

Разумеется, нужно убедиться, что h (y) ≠ 0. Если найдется число x ₀, при котором h (x ₀) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h (y) приводит к потере указанного решения.

Обозначив , запишем уравнение в форме:

Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:

где C − постоянная интегрирования.

Вычисляя интегралы, получаем выражение

описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными.

Вопрос