Вопрос. Определение поля можно распространить и на векторные величины

Определение поля можно распространить и на векторные величины. Тогда: - если в каждой точке пространства М, принадлежащей некоторой области трехмерного пространства задать вектор , то таким образом будет задано векторное поле.Вектор (рис. 16) называется вектором поля.

Рис.16. К определению векторного поля.

Примером векторного поля является поле сил тяготения, возникающее в пространстве вокруг материального тела. При этом на пробное тело будет действовать сила, величина и направление которой будет зависеть от положения этого пробного тела в пространстве.

При произвольном течении жидкости скорости частиц в общем случае также будут зависеть от их пространственного положения, образуя, следовательно, векторное поле. Векторное поле является векторной функцией векторного аргумента.

(62)

Если в области определения векторного поля ввести декартову систему координат, то вектор поля можно разложить по ортам , , :

(63)

при этом . Таким образом, задание векторного поля в системе координат означает задание трех независимых функций трех переменных.

Будем считать, что все функции непрерывны и дифференцируемы, что обычно выполняется в физических приложениях теории поля. Отдельные точки, где эти условия не выполнены (т. е. вектор поля не определен или испытывает скачки), называются особыми и требуют специального рассмотрения. Геометрической характеристкой векторного поля являются векторные линии, т.е. кривые, в любой точке которых касательная к ним совпадает с вектором поля (рис. 17). Например, в случае стационарного течения жидкости векторные линии можно рассматривать как траектории движения частиц жидкости, а количество линий будет пропорционально числу частиц.

Рис.17 К определению векторных линий.

Чтобы получить уравнение векторных линий, будем рассматривать сами линии как годограф некоторой вектор-функции скалярного аргумента. Тогда вектор будет направлен по касательной к векторной линии в точке с радиус-вектором (рис. 17). Следовательно, он будет пропорционален вектору поля в этой точке:

(64)

где - некоторый коэффициент пропорциональности.В системе координат

(65)

Исключив из (65) , получим систему

которая называется системой дифференциалных уравнений векторных линий. Независимых уравнений в этой системе только два и общее решение может быть представлено в виде:

(67)

и каждая векторная линия, таким образом, будет линией пересечения двух поверхностей и

Физический смысл этого утверждения заключается в том, что силовые линии начинаются и кончаются на зарядах. Поэтому непрерывная (без разрывов) деформация поверхности не изменит полного числа линий напряженности, выходящих наружу. Как следствие, поток через произвольную поверхность, охватывающую заряд, будет таким же, как и для сферы