Интегрирование иррациональных выражений

Интегралы вида Для вычисления интеграла I₁ выделяется полный квадрат под знаком радикала:

и применяется подстановка:

, dx=du.

В результате этот интеграл сводится к табличному:

В числителе интеграла I₂ выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:

где I₁ – вычисленный выше интеграл.

Вычисление интеграла I₃ сводится к вычислению интеграла I₁ подстановкой:

Интеграл вида Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в предыдущем пункте. Существует несколько различных приемов их вычисления. Рассмотрим один из таких приемов, основанный на применении тригонометрических подстановок.

Квадратный трехчлен ax²+bx+c путем выделения полного квадрата и замены переменной может быть представлен в виде Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:

Интеграл подстановкой u=ksint (или u=kcost)

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.

БИЛЕТ

Дайте понятие о рационализация иррациональных функций с помощью подходящих подстановок. Запишите и объясните подстановки, применяемые при интегрировании дробно-линейных иррациональностей.

Рационализация иррациональных функций с помощью подходящих подстановок – это интегрирование иррациональной функции с целью её приведения к рациональной функции, Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен.

Интегрирование дробно–линейных иррациональностей (рационализация)

и т.п. Если имеются такие корни, то выражение преобразовывается в рациональную дробь с помощью подстановки х=t^k, где k – наименьшее общее кратное чисел показателей корня.

2) и т.п. Выражение рационализируется с помощью подстановки ax+b=t^k, где k – наименьшее общее кратное чисел показателей корня.

3) Если выражение под знаком интеграла содержит корни вида:

и т.п., то оно приводится к рациональной дроби с помощью подстановки t^k, где к – наименьшее общее кратное чисел показателей корня

32 БИЛЕТ
Сформулировать задачу о площади криволинейной трапеции. Определить понятие определенного интеграла через предел интегральной суммы функции. Сформулируйте теорему и запишите формулу Ньютона-Лейбница. Объясните алгоритм вычисления по ней определенного интеграла.

Задача о криволинейной трапеции:

Дана криволинейная трапеция, ограниченная отрезком оси Ox, графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции и прямыми. Требуется найти площадь S этой криволинейной трапеции.

Пусть функция у=ƒ(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия

1. С помощью точек х0=а, x1, х2,..., хn = В (х0 <x1 <...< хn) разобьем отрезок [а, b] на n частичных отрезков [х0;х1], [x1; х2],..., [хn-1,хn] (см. рис. 167).

2. В каждом частичном отрезке [xi-1;xi], i = 1,2,...,n выберем произвольную точку сi є [xi-1; xi] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину ƒ(сi).

3. Умножим найденное значение функции ƒ (сi) на длину ∆xi=xi-xi-1 соответствующего частичного отрезка: ƒ (сi) • ∆хi.

4. Составим сумму Sn всех таких произведений:

Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: λ = max ∆xi(i = 1,2,..., n).

5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда n → ∞ так, что λ→0.

Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b] и обозначается Таким образом,

(понятие через предел интегральной суммы)

Формула Ньютона-Лейбница:

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) её первообразная на этом отрезке, то справедлива формула:

БИЛЕТ