![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Интегралы вида
Для вычисления интеграла I1 выделяется полный квадрат под знаком радикала:
и применяется подстановка:
, dx=du.
В результате этот интеграл сводится к табличному:
В числителе интеграла I2 выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:
где I1 – вычисленный выше интеграл.
Вычисление интеграла I3 сводится к вычислению интеграла I1 подстановкой:
Интеграл вида Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в предыдущем пункте. Существует несколько различных приемов их вычисления. Рассмотрим один из таких приемов, основанный на применении тригонометрических подстановок.
Квадратный трехчлен ax2+bx+c путем выделения полного квадрата и замены переменной может быть представлен в виде Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:
Интеграл подстановкой u=ksint (или u=kcost)
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.
БИЛЕТ
Дайте понятие о рационализация иррациональных функций с помощью подходящих подстановок. Запишите и объясните подстановки, применяемые при интегрировании дробно-линейных иррациональностей.
Рационализация иррациональных функций с помощью подходящих подстановок – это интегрирование иррациональной функции с целью её приведения к рациональной функции, Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен.
Интегрирование дробно–линейных иррациональностей (рационализация)
и т.п. Если имеются такие корни, то выражение преобразовывается в рациональную дробь с помощью подстановки х=tk, где k – наименьшее общее кратное чисел показателей корня.
2) и т.п. Выражение рационализируется с помощью подстановки ax+b=tk, где k – наименьшее общее кратное чисел показателей корня.
3) Если выражение под знаком интеграла содержит корни вида:
и т.п., то оно приводится к рациональной дроби с помощью подстановки
tk, где к – наименьшее общее кратное чисел показателей корня
32 БИЛЕТ
Сформулировать задачу о площади криволинейной трапеции. Определить понятие определенного интеграла через предел интегральной суммы функции. Сформулируйте теорему и запишите формулу Ньютона-Лейбница. Объясните алгоритм вычисления по ней определенного интеграла.
Задача о криволинейной трапеции:
Дана криволинейная трапеция, ограниченная отрезком оси Ox, графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции и прямыми. Требуется найти площадь S этой криволинейной трапеции.
Пусть функция у=ƒ(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия
1. С помощью точек х0=а, x1, х2,..., хn = В (х0 <x1 <...< хn) разобьем отрезок [а, b] на n частичных отрезков [х0;х1], [x1; х2],..., [хn-1,хn] (см. рис. 167).
2. В каждом частичном отрезке [xi-1;xi], i = 1,2,...,n выберем произвольную точку сi є [xi-1; xi] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину ƒ(сi).
3. Умножим найденное значение функции ƒ (сi) на длину ∆xi=xi-xi-1 соответствующего частичного отрезка: ƒ (сi) • ∆хi.
4. Составим сумму Sn всех таких произведений:
Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: λ = max ∆xi(i = 1,2,..., n).
5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда n → ∞ так, что λ→0.
Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b] и обозначается Таким образом,
(понятие через предел интегральной суммы)
Формула Ньютона-Лейбница:
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) её первообразная на этом отрезке, то справедлива формула:
БИЛЕТ
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 1252 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!