Дайте определение точки экстремума функции. Сформулируйте теорему Ферма, необходимые и достаточные условия экстремума и докажите их

Экстремумы – точка x₀ из области определения ф-ции D(y), наз. точкой максимума (минимума), если имеет место неравенство: f(a)>f(x) (f(a)<f(x)), для любого x, из некоторой Е-окрестности точки а.

Теорема Ферма – если точка x=a явл. точкой экстремума ф-ции y=f(x) и производная, в этой точке сущ., то f’(a)=0.

Точки производной ф-ции. в которых =0, наз. стационарными.

Достаточное условие экстремума – если производная ф-ции, при переходе через точку x=a меняет знак, то а – точка экстремума ф-ции, а именно: если знак производной меняется с плюса на минус, то a – точка max.

Достаточный признак возрастания ф-ции – Если f’(x)=0 в каждой точке интервала I, то ф-ция возрастает на этом интервале.

Достаточный признак убывания ф-ции – Если f’(x)<0 в каждой точке интервала I, то ф-ция убывает на этом интервале.

БИЛЕТ

Монотонности функции. Изложите правило нахождения промежутков монотонности и точек зкстремума графика функции.
Если функция f(x), имеющая производную на отрезке (a;b), возрастает на этом отрезке, то её производная на отрезке (a;b) не отрицательная, т.е. f´ (x) ≥0.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке (a;b) и дифференцируема в промежутке (a;b), причём f´ (x)>0 для a<x<b, то эта функция возрастает на отрезке (a;b).

Правило нахождения промежутков монотонности:

· Найти производную f’(x)

· Найти критические точки в которых f’(x)=0 или не существуют по первой производной.

· Нанести эти точки на числовую прямую

· Определить знак производной на каждом из промежутков

· Установить изменение знака производной, при переходе через критические точки

· Найти F(min) и F(max).

БИЛЕТ