Вычисление пределов ф-ции с помощью правила Лопиталя

При исследовании ф-ций возникает необходимость найти предел отношения двух ф-ций f(x)/ⱷ(x), причем числитель и знаменатель этой дроби, при х—>a оба стремятся к нулю, или оба стремятся к бесконечности. Тогда мы говорим, что ф-ция имеет неопределенность [0/0], или [∞/∞].

Правило Лопиталя-Бернулли.

Предел отношения двух бесконечно малых, или бесконечно больших ф-ций, равен пределу отношения их производных, при x—>a, конечному, или бесконечному, если он существует.

Правило Лапиталя при опред. условии может применяться несколько раз. Это правило также применяется при раскрытии опред. вида [0*∞].

БИЛЕТ

Необходимое и достаточное условие возрастания и убывания функции на промежутке.

1.) Если функция f(x), имеющая производную на отрезке (a;b), возрастает на этом отрезке, то её производная на отрезке (a;b) не отрицательная, т.е. f'(x)>=0.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке (a;b) и дифференцируема в промежутке (a;b), причём f'(x)>0 для a<x<b, то эта функция возрастает на отрезке (a;b).
2.) Правило нахождения промежутков монотонности:
Найти производную f'(x)
Найти критические точки в которых f'(x)=0 или не существуют по первой производной.
Нанести эти точки на числовую прямую
Определить знак производной на каждом из промежутков
Установить изменение знака производной, при переходе через критические точки
Найти F(min) и F(max).

БИЛЕТ