Сформулируйте сущность метода интегрирования по частям неопределенного интеграла. Выведите формулу интегрирования по частям неопределенного интеграла

1.сущность метода интегрирования по частям неопределенного интеграла-если подъинтегральная функция представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций
2.формула интегрирования по частям неопределенного интеграла:
d(uv)=udv+vdu
uv=Sudv+Svdu
инт.udv=uv-инт.vdu
25 БИЛЕТ

Дайте определение целой и дробно-рациональной функций. Сформулируйте правило интегрирования целой рациональной функции и неправильной рациональной дроби.

1.Функции вида f(x)=p(x), где p(x) - многочлен, называют целыми рациональныи функциями. Функции вида f(x)=p(x)/q(x), где p и q - многочлены, называют дробно-рациональными функциями.
2. правило интегрирования неправильной рациональной дроби:
это деление числителя на знаменатель.
ВСЕ недостающие степени (и (или) свободные члены) без пропусков записываем в ОБОИХ многочленах с нулевыми коэффициентами.
два слагаемых, первое – интегрируется совсем просто, а второе – правильная дробь
выполняем проверку.
От первого слагаемого сразу берем интеграл. Знаменатель дроби раскладываем на множители
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей

БИЛЕТ

Дать определение правильной рациональной дроби и записать виды простых дробей.. Изложить правило интегрирования правильной рациональной дроби. Раскрыть сущность разложения рациональной функции на сумму простых дробей.

виды простейших дробей:
1)A/x-a
2)A/(x-a)ст.(k)
3)Ax+B/x2+q+px
4)Ax+B/(x2+q+px)ст.(k)
5)k>2; nЭN; x,A,B,a,b,q,pЭR; D<0
интегрирование
способ интегрирования правильной рациональной дроби-чтобы инт.правил.дробь её вначале след.представ.в виде суммы простейших дробей,а затем проинтегр.каждое слаг.отдельно

27 БИЛЕТ
Запишите представление рациональной дроби в виде суммы простейших дробей. Изложите методы нахождения коэффициентов разложения рациональной дроби на простейшие (метод неопределенных коэффициентов).
Смотрим, правильная ли дробь (степень числителя должна быть меньше степени знаменателя). Если дробь неправильная, то делим столбиком числитель на знаменатель.
Раскладываем знаменатель на множители.
Правильную рациональную дробь представляем в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.
Приводим последнюю сумму к общему знаменателю и группируем в числителе слагаемые при одинаковых степенях х.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х.
Решаем полученную систему уравнений, находим неопределенные коэффициенты

БИЛЕТ

Записать интегралы от простых дробей и разъяснить способ их вычисления.

1.интегралы от простейших дробей I и II типов.

1)инт.(A/x-a)dx=A(инт)d(x-a/x-a)=|x-a=t;dx=dt|=A(инт)dt/t=Aln|t|+C=Aln|x-a|+C

2)инт.(A/(x-a)ст.(n))=A(инт)(x-a)(ст.(-n))*d(x-a)=A(x-a)(ст.(-n+1))/-n+1 +C

2.интеграл от простейших дробей III типа:

1) Для начала представляем неопределенный интеграл в виде суммы простейших дробей

2) Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала

3) У полученного интеграла преобразовываем знаменатель

x(кв.)+px+q=x(кв.)+2*(p/2)*x-p(кв.)/4-p(кв.)/4=B(инт.)dx/((x+p/2))(кв.)+(q-p(кв.)/4=|x+p/2=t;dx=dt|

БИЛЕТ

Запишите основные типы интегралов от тригонометрических функций. Записать и разъяснить основные формулы и подстановки, применяемые при
интегрировании тригонометрических функций. Объясните способы их вычисления.