Дать определение дифференциала функции и раскрыть его геометрический смысл

БИЛЕТ

производная функция
1.Производная функция в данной точке наз. Предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. (Lim(дел.x->0)дельта y/дельта x) =Lim(дел.x->0)f(x0+дельтаx)-f(x0)/дельта x.
2.Основное свойство производной функции:функция имеющая производную в точке является непрерывной в этой точке. Обратное утверждение неверно.

БИЛЕТ

касательной и Геометрический смысл производной функции,уравнение нормли
1. Геометрический смысл производной функции-На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая. Расстояние (дельта)x=x—x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную. Тангенс угла L наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.
Если функция f:U(x0)->R имеет конечную производную в точке x0, то в окрестности U(x0) её можно приблизить линейной функцией.
2. Уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой x0.
уравнение касательной y=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)
Уравнение нормали: y=y0-(1/f'(x0))*(x-x0)

БИЛЕТ

Сложная функция и правила.дифференцирования сложной функции
1.Сложная функция, функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то у является Сложная функция от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u).
2. формула и правило дифференцирования сложной функции.
Дифф.ф-ии нескольких перем.назыв.главная часть приращ.ф-ии пропорц.приращ.независимых переменных
dz=дz/дx *dx+дz/дx *dy

БИЛЕТ

функция задана параметрически,от диффернциала.функции
1. Функция y=y(x)заданная параметрически - Зависимость величины y от величины x, заданная через зависимость каждой из них от параметра t в виде x=ф(t),y=q(t)
2.Сформулируйте теорему о дифференцировании функции, заданной параметрическими уравнениями: x=x(t); y=y(t) где t -переменная
2.1.Найдем производную у'(основ.-х), считая, что функции имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=ф(х). По правилу дифференцирования обратной функции:
t'(основ.x)=1/x'(основ.t)
2.2.Функцию у=f(х), определяемую параметрическими уравнениями, можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=ф(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'(основ.-х)=y'(t)*t'(x). С учетом равенства получаем:
y'(z)=y'(t)*1/x'(t)

БИЛЕТ

Неявная функция и дифференцирование
1. неявная функция-если каждой паре (x;y) знач.2-ух независимых переменных из области W ставится определ.знач. z, то говорят,что z есть ф-ия 2-ух переменных (x;y)
2. правило дифференцирования неявной функции:
Для нахождения производной считаем, что в уравнении y зависит от x,иначе F(x,y(x))=0. Другими словами дифференцируем уравнение F(x,y(x))=0,считая y сложной функцией, зависящей от x

БИЛЕТ

Дать определение дифференциала функции и раскрыть его геометрический смысл.

Дифференциалом функции у=f(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или df(х)): dy=f'(х)*дел.х.
2.свойства дифференциала.
1) Дифференциал постоянной равен нулю:
dc = 0, с = const.
2) Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов слагаемых:
d(u+v)=du + dv.
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны
d(u+c) = du (c= const).
3) Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой:
d(uv) = udv + vdu.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала
d(cu) = cdu (с = const).

БИЛЕТ

Св-ва дифференциалов:

1) dc=0; c=const;

2) Диф. алгебраической суммы дифференцируемых ф-ций равен алгебраической сумме дифференциалов этих ф-ций. u=u(x); V=V(x); W=W(x); d(u+v-w) = du+dv-dw.

3) Если две дифференцируемые ф-ции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны между собой. d(u+c) = du+dc=du.

4) Постоянный многочлен выносится за знак дифференциала. D(Cv)=CdV.

5) D(uv) = vdu+udv.

D() = .

БИЛЕТ