Основные виды тригонометрических уравнений и способы их решения

1. Простейшие тригонометрические уравнения:

sin x = а, где -1 а 1. x = (-1) arcsin a + n, n Z;

cosx = а, где -1 а 1. x = arcos a +2 n, n Z;

tg x = а x = arctg a + n, n Z;

ctg x = а x = arcctg a + n, n Z.

Для решения уравнений видаsin x =а, cos x =а, tg x =а и ctg x =а удобны формулы:

sin x = а, x = arсsin + n, n Z;

cos x = а, x = arсcos + n, n Z;

tg x = а, x = arc tg + n, n Z;

ctg x = а, x = arcctg + n, n Z.

2.Алгебраические относительно одной из тригонометрических функций:

№	Вид уравнения	Способы решения
	a sin x + b sin x + c = 0	y = sinx ay + by + c = 0
	a sin x + b cos x + c = 0	sin x = 1- cos x; y = cosx; приводим уравнение к квадратному относительно cos x
	a tg x+ b сtg x + c = 0	сtg x = 1/ tg x; приведем уравнение к квадратному относительно tg x
	a sin x + b cos x = c	1) введение вспомогательного угла: разделим обе части уравнения на и приведем уравнение к виду sin(x+ ) = с/ , где sin = , cos = ; 2) универсальная тригонометрическая подстановка: sin x = , cos x = ; далее приведем к квадратному уравнению относительно tg ; 3) применением формул двойного угла sin2x = 2sinx cosx, cos 2x = cos x - sin x и тригонометрической единицы sin + cos =1 приводим к однородному уравнению

3. Однородные уравнения:

а) a sin x + b cos x = 0;

делим обе части уравнения на cos x 0 (так как если cos x = 0, то из условия следует, что и sin x = 0, что противоречит тригонометрической единице: sin + cos = 1) и получаем простейшее уравнение относительно tg x;

б) a sin x + b sin x cos x + c cos x = 0;

делим обе части уравнения на cos x 0 (так как если cos x = 0, то из условия следует, что и sin x = 0, что противоречит тригонометрической единице: sin + cos = 1) и получаем простейшее уравнение относительно tg x и т.д.

4. Понижение степени уравнения.

Применение формул sin = (1- cos2 ) и cos = (1+ cos2 ) позволяет понизить степень уравнения с одновременным удвоением величины угла.

5. Преобразование уравнения с помощью тригонометрических формул:

а) преобразование суммы тригонометрических функций в произведение с помощью формул

sin + sin = 2 sin cos ;

sin - sin = 2 sin cos ;.

cos + cos = 2 cos cos ;

cos + cos = 2 sin sin ;

б) преобразование произведения тригонометрических функций в сумму с помощью формул

sin x cos y = (sin(x+y) + sin(x-y));

sin x sin y = - (cos(x+y) + cos(x-y));

cos x cos y = (cos(x+y) + cos(x-y));

в) применение различных формул для упрощения уравнения.

6. Условие равенства одноименных тригонометрических функций.

Учитывая периодичность тригонометрических функций, в уравнениях вида

sin x = sin y и cos x = cos y имеем:

x + 2 n = y, n Z.

В уравнениях вида

tg x = tg y и сtg x = сtg y соответственно

x + n = y, n Z.