Решение тригонометрических неравенств

Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими. Решение простейших тригонометрических неравенств удобно иллюстрировать на тригонометрическом круге или графике. Для решения более сложных неравенств необходимо привести их к простейшим (в том числе к системе или совокупности), используя тригонометрические и (или) алгебраические формулы. Для решения тригонометрических неравенств используют свойства монотонности тригонометрических функций, а так же промежутки их знакопостоянства.

Общие рекомендации:

а) При решении простейших неравенств

sin x ≥ a, cos x ≥ a, tg x ≥ a, сtg x ≥ a, (<; >, ):

1) отметить на линии синусов (косинусов, тангенсов, котангенсов) числовой промежуток, соответствующий условию неравенства;

2) отметить на окружности дугу, соответствующую данному промежутку, и центральный угол;

3) на ближайшем к началу отсчета конце дуги отметить число, равное arcsin a (arccos a, arctg a, arcctg a);

4) используя свойства симметрии и, учитывая, что положительным является направление против часовой стрелки, отметить число, соответствующее второму концу дуги;

5) переходя от частного решения к общему, прибавить к концам полученного промежутка числа, кратные наименьшему периоду функции (2 n для sin x и cos x, n для tg x и

сtg x, n Z);

6) записать общее решение в виде неравенства или числового промежутка.

б) При решении неравенств, сводящихся при замене тригонометрической функции новой переменной к рациональным, использовать дополнительно метод интервалов.