Понятие функции и способы ее задания. Свойства функции

Функцией называется зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной y соответствует единственное значение переменной x.

Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y - зависимой переменной или функцией. Говорят, что y является функцией от x. Областью определения функции называют все значения, которые принимает независимая переменная, а множеством значений функции - все значения зависимой переменой. Приняты обозначения: D (f) - область определения функции, E (f) - множество значений функции, f (x ) - значение функции в точке x .

Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Графиком функции называется множество точек плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – значениям функции. Заметим, что не всякое множество точек плоскости является графиком некоторой функции. Для того, чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая, параллельная оси Оу, пересекалась с указанным графиком не более чем в одной точке.

Функция может быть задана аналитически в виде формулы у = f (x), или множеством пар (х; f (x)), где х принимает все значения из области определения, а

f (x) – соответствующие значения функции (в том числе и табличным способом), или графически. Иногда функцию задают словесным способом. Примером может служить функция Дирихле у = D(x): если х – рациональное число, то значение функции D(x) равно 1, а если число х – иррациональное, то значение функции D(x) равно 0. Таким образом, чтобы найти значение D(x ) при заданном значении х = x , необходимо каким-либо образом установить, рационально или иррационально число х.

Функция называется четной, если она обладает следующими двумя свойствами:

1) область определения этой функции симметрична относительно точки О (т.е. если точка а принадлежит области определения, то и точка - а также принадлежит области определения);

2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f (x) = f (-x).

Функция называется нечетной, если:

1) область определения этой функции симметрична относительно точки О;

2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f (x) = - f (x).

Свойства четности и нечетности функции используются при построении графиков. График четной функции симметричен относительно оси Оу, нечетной – относительно начала координат.

Функция называется возрастающей на данном числовом промежутке Х, если большему значению аргумента х Х соответствует большезначение функции f (x),т.е. для любых х и х из промежутка Х,таких, что х > х ,выполнено равенство f (х )> f (х ).

Функция называется убывающей на данном числовом промежутке Х, если большему значению аргумента х Х соответствует меньшеезначение функции f (x),т.е. для любых х и х из промежутка Х, таких, что х > х , выполнено равенство f (х ) < f (х ). Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. остается положительной или отрицательной), называются промежутками знакопостоянства функции. В первом случае график расположен выше оси О х, во втором случае ниже ее.

Значения аргумента из области определения, при которых f (x) = 0, называются нулями функции. Значения аргумента, при которых функция обращается в ноль – это абсциссы точек пересечения графика функции с осьюО х.

Функция f называется периодической, если существует такое числоТ ≠ 0,что при любом х из области определения функции числа х – Т и х + Т также принадлежат этой области и выполняется равенство f (x) = f (x - Т) = f (x + Т).В этом случаечислоТназывают периодом функции f. Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это обстоятельство также используется при построении графиков.

2. Простейшие преобразования графиков функций.

Во многих случаях графики элементарных функций можно построить по графику заданной его части или по графику другой функции с помощью линейных преобразований: параллельного переноса, растяжения (сжатия), преобразования симметрии. С помощью параллельного переноса вдоль оси Ох (рис.1) или оси Оу (рис.2) по заданному графику функции можно построить графики функций и . В первом случае любая точка A (x; y) графика переходит в точку А (x + m; f(x)), во втором в точку А (x; f(x) + n).

рис.1 рис.2

рис.3 рис. 4

С помощью растяжения или сжатия по оси Ох или оси Оу можно построить график функции (рис.3) или (рис.4). Для построения графика функции

у = аf(k(x-m)) + n последовательно применяют вышеуказанные преобразования.

Если функция – периодическая с периодом Т, то достаточно построить часть ее графика для , и тогда весь график получается переносом построенной части вдоль оси абсцисс на отрезки (рис.5).

Для построения графиков четных и нечетных функций следует строить ветвь графика только в области неотрицательных значений аргумента .

Для построения графика функции необходимо построить график функции и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции (рис.7). Для построения графика функции необходимо построить график функции и отразить его относительно оси абсцисс (рис.6).

рис.5 рис.6

рис.7 рис.8

Для построения графика функции следует учесть, что функция является четной, поэтому строим график функции при и отражаем полученный график относительно оси ординат.

Для построения графика функции нужно сначала построить график функции ,а затем ту часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости, отразить относительно оси абсцисс. Полученная в верхней полуплоскости линия и будет графиком функции (рис.8).