Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Основные свойства и графики тригонометрических функций



а) Свойства функции у = sin x и ее график.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, т.е. D(у) = R.

2. Область значений – отрезок , т.е. Е (у) = .

3. Функция нечетная:sin (–x) = sin xдля всех х R.

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2 , т.е.

sin (x+2 )= sin xдля всех х R.

5.sin x = 0 при x = k, k Z.

6. sin х>0 при x (2 k; + 2 k), k Z.

7.sin х<0 при x ( + 2 k; 2 + 2 k), k Z.

8. Функция возрастает от -1 до 1 на промежутке (- + 2 k; + 2 k), k Z.

9. Функция убывает от 1 до -1 на промежутке ( + 2 k; + 2 k), k Z.

10. Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x = + 2 k, k Z.

11. Функция принимает наименьшее значение, равное -1, в точках x = + 2 k, k Z.

Используя свойства синуса, сначала строим его график на промежутке , т.е. на промежутке, длина которого равна периоду функции, затем, используя периодичность функции у = sin x, строим график функциина всей числовой прямой.

б) Свойства функции у = соs x и ее график.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, т.е. D(у)=R.

2. Область значений – отрезок , т.е. Е (у)=

3. Функция четная:соs(–x)= соs xдля всех х R.

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2 , т.е.

соs(x+2 )= соs xдля всех х R.

5.соs x = 0 при x = + k, k Z.

6.соs x > 0 при x (- + 2 k; + 2 k), k Z.

7.соs x < 0 при x ( + 2 k; + 2 k), k Z.

8. Функция возрастает от 1 до -1 на промежутке (- + 2 k; 2 k), k Z.

9. Функция убывает от -1 до 1 на промежутке (2 k; + 2 k), k Z.

10. Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x = 2 k,k Z.

11. Функция принимает наименьшее значение, равное - 1, в точках x = + 2 k, k Z.

Т. к.соs x =sin (x + ), то график функции у = соs x получается параллельным переносом графика функции у = sin x на расстояние в отрицательном направлении оси Ох.

Графики функций у = sin x и у = соs x называют синусоидой.

в) Свойства функции у = tg x и ее график.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x = + k, k Z.

2. Область значений – множество всех действительных чисел.

3. Функция нечетная:tg(–x)= -tgxдля всех хиз области определения.

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом , т.е.

tg(x+ )= tg xдля всех х из области определения.

5. tg x = 0 при x = k, k Z.

6.tg x > 0 при x ( k; + k), k Z.

7.tg x < 0 при x (- + k; k), k Z.

8. Функция возрастает на промежутках (- + 2 k; + k), k Z.

Используя свойства тангенса, сначала строим его график на промежутке , т.е. на промежутке, длина которого равна периоду функции, затем, используя периодичность функции у = tg x, строим график функциина всей числовой прямой.

График функции у = tg x называют тангенсоидой.

г) Свойства функции у = сtg x и ее график.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x = k, k Z.

2. Область значений – множество всех действительных чисел.

3. Функция нечетная:сtg(–x) = -сtgxдля всех х из области определения.

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом , т.е.

сtg(x+ )= сtg xдля всех х из области определения.

5.сtg x = 0 при x = + k, k Z.

6.сtg x >0 при x ( k; + k), k Z.

7.сtg x < 0 при x (- + k; k), k Z.

8. Функция убывает на каждом из промежутков ( k; + k), k Z.

Используя свойства котангенса, сначала строим его график на промежутке (0; ), т.е. на промежутке, длина которого равна периоду функции, затем, используя периодичность функции у = сtg x, строим график функциина всей числовой прямой.

График функции у = сtg x можно построить иначе: т.к. сtg x = - tg(x + ), то выполним параллельный перенос графика функции у = tg x на расстояние в отрицательном направлении оси Ох и отобразим полученный график симметрично оси Ох.

4. Рассмотрим примеры построения графиков сложных функций элементарными способами:

Пример 1. Построить график функции: .

Функция четная. По определению арифметического квадратного корня .

Схема построения при :

1. ;

2. . Выполняем параллельный перенос первого графика на 2 единицы вдоль оси ординат и на одну единицу вдоль оси абсцисс;

3. Так как при , то областью определения исходной функции является промежуток .

Построим таблицу зависимости значений исходной функции от значений функции . При возрастает, следовательно, возрастающей является и функция . Отобразим полученный график симметрично оси ординат.

x f(x) y
1,5  
   
  4,5
   

Пример 2. Построить график функции:

Функция четная.

Схема построения:

1) ;

2) – отражаем первый график относительно оси ординат;

3) . Часть второго графика, находящуюся под осью абсцисс, отражаем относительно ее. Полученная в верхней полуплоскости линия является требуемым графиком.

Пример 3. Построить график функции:

Так как , то . Построим таблицу зависимости от .

x g (x) y
    -
     
    -1
    -2

При , следовательно, х = 1 является вертикальной

асимптотой.

Пример 4. Построить график функции: .

. Схема построения:

1. ; 2. – растягиваем график в 2 раза вдоль оси ординат;

3.

При график напоминает сжатую пружину, причем, чем меньше значение x, тем сильнее сжатие.

Построим таблицу:

y 2 = 2 ln x -  
y = sin y 2 -1       -1

5. Исследование функции с помощью производной. Непрерывность функции. Асимптоты.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке х = а, если предел функции при равен значению функции при х= а:

Определение 2. Функция у = называется непрерывной в точке х = а, если она в этой точке определена и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.:

Если условие непрерывности функции в точке х = а нарушено, то такую точку называют точкой разрыва функции.

Для элементарных функций справедливы следующие положения:

1) область непрерывности элементарной функции совпадает с её областью определения, т.е. элементарная функция непрерывна во всей области определения;

2) элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках какого-либо промежутка, но не во всех его точках;

3) элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, в которой она не определена.

Функция называется непрерывной в промежутке, если она непрерывна во всех точка этого промежутка.

Достаточный признак возрастания (убывания) функции: Если ( x) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f(x) возрастает на I. Если (x) < 0 в каждой точке интервала I, тофункция f(x) убывает на I.

Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна 0 или не существует, называются критическими точками этой функции.

Необходимое условие экстремума (теорема Ферма): Если точка х является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная , то она равна нулю: ) = 0.

Признак максимума функции: Если функция f непрерывна в точке х, а (x) > 0 на интервале (а; х) и (x) < 0 на интервале (х;b), то точка х является точкой максимума функции f.





Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 708 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.017 с)...