 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Основные свойства и графики тригонометрических функций
|
|
а) Свойства функции у = sin x и ее график.
1. Область определения – множество всех действительных чисел, т.е. D(у) = R.
2. Область значений – отрезок 
, т.е. Е (у) = .
3. Функция нечетная:sin (–x) = sin xдля всех х 
R.
4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2 
, т.е.
sin (x+2 )= sin xдля всех х R.
5.sin x = 0 при x = k, k Z.
6. sin х>0 при x (2 k; + 2 k), k Z.
7.sin х<0 при x ( + 2 k; 2 + 2 k), k Z.
8. Функция возрастает от -1 до 1 на промежутке (- 
+ 2 
k; + 2 k), k Z.
9. Функция убывает от 1 до -1 на промежутке ( + 2 k; 
+ 2 k), k Z.
10. Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x = + 2 k, k Z.
11. Функция принимает наименьшее значение, равное -1, в точках x = + 2 k, k Z.
Используя свойства синуса, сначала строим его график на промежутке 
, т.е. на промежутке, длина которого равна периоду функции, затем, используя периодичность функции у = sin x, строим график функциина всей числовой прямой.
б) Свойства функции у = соs x и ее график.
1. Область определения – множество всех действительных чисел, т.е. D(у)=R.
2. Область значений – отрезок , т.е. Е (у)=
3. Функция четная:соs(–x)= соs xдля всех х R.
4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2 , т.е.
соs(x+2 )= соs xдля всех х R.
5.соs x = 0 при x = + k, k Z.
6.соs x > 0 при x (- + 2 k; + 2 k), k Z.
7.соs x < 0 при x ( + 2 k; + 2 k), k Z.
8. Функция возрастает от 1 до -1 на промежутке (- + 2 k; 2 k), k Z.
9. Функция убывает от -1 до 1 на промежутке (2 k; + 2 k), k Z.
10. Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x = 2 k,k Z.
11. Функция принимает наименьшее значение, равное - 1, в точках x = + 2 k, k Z.
Т. к.соs x =sin (x + ), то график функции у = соs x получается параллельным переносом графика функции у = sin x на расстояние в отрицательном направлении оси Ох.
Графики функций у = sin x и у = соs x называют синусоидой.
в) Свойства функции у = tg x и ее график.
1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x = + k, k Z.
2. Область значений – множество всех действительных чисел.
3. Функция нечетная:tg(–x)= -tgxдля всех хиз области определения.
4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом , т.е.
tg(x+ )= tg xдля всех х из области определения.
5. tg x = 0 при x = k, k Z.
6.tg x > 0 при x ( k; + k), k Z.
7.tg x < 0 при x (- 
+ k; k), k Z.
8. Функция возрастает на промежутках (- + 2 k; + k), k Z.
Используя свойства тангенса, сначала строим его график на промежутке 
, т.е. на промежутке, длина которого равна периоду функции, затем, используя периодичность функции у = tg x, строим график функциина всей числовой прямой.
График функции у = tg x называют тангенсоидой.
г) Свойства функции у = сtg x и ее график.
1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x = k, k Z.
2. Область значений – множество всех действительных чисел.
3. Функция нечетная:сtg(–x) = -сtgxдля всех х из области определения.
4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом , т.е.
сtg(x+ )= сtg xдля всех х из области определения.
5.сtg x = 0 при x = + k, k Z.
6.сtg x >0 при x ( k; + k), k Z.
7.сtg x < 0 при x (- + k; k), k Z.
8. Функция убывает на каждом из промежутков ( k; + k), k Z.
Используя свойства котангенса, сначала строим его график на промежутке (0; ), т.е. на промежутке, длина которого равна периоду функции, затем, используя периодичность функции у = сtg x, строим график функциина всей числовой прямой.
График функции у = сtg x можно построить иначе: т.к. сtg x = - tg(x + ), то выполним параллельный перенос графика функции у = tg x на расстояние в отрицательном направлении оси Ох и отобразим полученный график симметрично оси Ох.
4. Рассмотрим примеры построения графиков сложных функций элементарными способами:
Пример 1. Построить график функции: 
.
Функция четная. По определению арифметического квадратного корня 
.
Схема построения при 
:
1. 
;
2. 
. Выполняем параллельный перенос первого графика на 2 единицы вдоль оси ординат и на одну единицу вдоль оси абсцисс;
3. Так как 
при 
, то областью определения исходной функции является промежуток 
.
Построим таблицу зависимости значений исходной функции от значений функции 
. При 
возрастает, следовательно, возрастающей является и функция 
. Отобразим полученный график симметрично оси ординат.
| x | f(x) | y |
| 1,5 | 
| |
| ||
| 4,5 | 
| |
|
Пример 2. Построить график функции: 
Функция четная.
Схема построения:
1) 
;
2) 
– отражаем первый график относительно оси ординат;
3) . Часть второго графика, находящуюся под осью абсцисс, отражаем относительно ее. Полученная в верхней полуплоскости линия является требуемым графиком.
Пример 3. Построить график функции: 
Так как 
, то 
. Построим таблицу зависимости от 
.
| x | g (x) | y |
| - | ||
| -1 | ||
| -2 |
При 
, следовательно, х = 1 является вертикальной
асимптотой.
Пример 4. Построить график функции: 
.
. Схема построения:
1. 
; 2. 
– растягиваем график в 2 раза вдоль оси ординат;
3. 
При 
график напоминает сжатую пружину, причем, чем меньше значение x, тем сильнее сжатие.
Построим таблицу:
| y 2 = 2 ln x | - 
|
| 
| 
| |
| y = sin y 2 | -1 | -1 |
5. Исследование функции с помощью производной. Непрерывность функции. Асимптоты.
Определение 1. Функция 
называется непрерывной в точке х = а, если предел функции при 
равен значению функции при х= а:
Определение 2. Функция у = называется непрерывной в точке х = а, если она в этой точке определена и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.:
Если условие непрерывности функции в точке х = а нарушено, то такую точку называют точкой разрыва функции.
Для элементарных функций справедливы следующие положения:
1) область непрерывности элементарной функции совпадает с её областью определения, т.е. элементарная функция непрерывна во всей области определения;
2) элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках какого-либо промежутка, но не во всех его точках;
3) элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, в которой она не определена.
Функция называется непрерывной в промежутке, если она непрерывна во всех точка этого промежутка.
Достаточный признак возрастания (убывания) функции: Если 
( x) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f(x) возрастает на I. Если (x) < 0 в каждой точке интервала I, тофункция f(x) убывает на I.
Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна 0 или не существует, называются критическими точками этой функции.
Необходимое условие экстремума (теорема Ферма): Если точка х 
является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная , то она равна нулю: (х ) = 0.
Признак максимума функции: Если функция f непрерывна в точке х, а (x) > 0 на интервале (а; х) и (x) < 0 на интервале (х;b), то точка х является точкой максимума функции f.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 767 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
