![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Тригонометрические функции связаны между собой многочисленными соотношениями.
Первая серия формул - основные тригонометрические тождества - описывает связь между функциями одного аргумента.
sin
+ cos
= 1,
tg =
,
ctg =
,
tg ctg
= 1,
1+ tg =
,
1+ ctg =
,
sec =
, cos
≠ 0,
cosec =
, sin
≠ 0.
Вторая серия – формулы приведения – происходит от симметрии и периодичности движения точки по окружности. Формулами приведения называются формулы, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов +
,
-
,
+
,
-
,
+
,
-
, 2
+
, 2
-
выражаются через значения sin
, cos
, tg
и ctg
. Для облегчения запоминания этих формул нужно использовать следующие правила:
а) при переходе от функций углов +
,
-
,
+
,
-
к функциям угла
исходная функция изменяет название на кофункцию;
при переходе от функций углов +
,
-
, 2
+
, 2
-
к функциям угла
название функции сохраняют;
б) перед полученной функцией ставят такой знак, какой имеет приводимая функция в исходной четверти, считая угол острым.
Третья серия – формулы сложения - получается при изучении поворотов.
sin ( +
) = sin
cos
+ sin
cos
sin ( -
) = sin
cos
- sin
cos
cos( +
) =cos
cos
- sin
sin
cos( -
) =cos
cos
+ sin
sin
Формулы сложения являются одними из основных формул, связывающих тригонометрические функции. Из них можно вывести различные следствия. Так, полагая =
, получаем формулы удвоения. Применяя основное тригонометрическое тождество к преобразованию косинуса двойного угла, получаем формулы, используемые для понижения степени синуса или косинуса:
1+ cos2 = 2 cos
1- cos2 = 2 sin
.
Используя правые части этих формул, легко вывести формулы для выражения тангенса половинного угла через синус и косинус.
Из формул двойных углов можно вывести формулы для синуса и косинуса половинного угла, но такие формулы часто неудобны, так как они содержат радикалы и при определении знака функции необходимо знать, в какой четверти лежит искомый угол.
Обилие тригонометрических формул связано с тем, что между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом и тангенсом – есть соотношения, позволяющие по-разному написать одно и то же выражение. Оказывается, все тригонометрические функции от аргумента x выражаются через тангенс половинного угла рационально, без квадратных корней:
sin x = ,
cos x = .
tg x = .
При использовании этих формул необходимо учитывать область определения дробей и функций.
Пользуясь этими формулами, можно функцию вида у = a sinx+ b cosx + c представить в виде рациональной функции от tg , что, в частности, может быть удобным при решении уравнений вида a sinx+ b cosx + c = 0.
Формулы сложения синусов и косинусов:
sin + sin
= 2 sin
cos
;
sin - sin
= 2 sin
cos
;.
cos + cos
= 2 cos
cos
;
cos + cos
= 2 sin
sin
.
Формулы для преобразования произведений синуса и косинуса в сумму получаются из формул сложения синусов и косинусов:
sin x cos y = (sin(x+y) + sin(x-y)),
sin x sin y = - (cos(x+y) + cos(x-y)),
cos x cos y = (cos(x+y) + cos(x-y)).
Формирование навыков тождественных преобразований тригонометрических выражений требует специальной тренировки, которая осуществляется с помощью достаточно большого числа упражнений.
Кроме названных формул, для тождественного преобразования тригонометрических выражений используется весь изученный ранее математический аппарат: способы разложения на множители, применение формул сокращенного умножения и т.д.
Несмотря на обилие формул, прослеживание взаимосвязей между ними, последовательности их выведения, выполнение большого числа тренировочных упражнений позволяют приобрести устойчивые навыки в их применении.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 986 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!