Тема лекции 3. Тригонометрические формулы. Тождественные преобразования тригонометрических выражений

Тригонометрические функции связаны между собой многочисленными соотношениями.

Первая серия формул - основные тригонометрические тождества - описывает связь между функциями одного аргумента.

sin + cos = 1,

tg = ,

ctg = ,

tg ctg = 1,

1+ tg = ,

1+ ctg = ,

sec = , cos ≠ 0,

cosec = , sin ≠ 0.

Вторая серия – формулы приведения – происходит от симметрии и периодичности движения точки по окружности. Формулами приведения называются формулы, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов + , - ,

+ , - , + , - , 2 + , 2 - выражаются через значения sin , cos , tg и ctg . Для облегчения запоминания этих формул нужно использовать следующие правила:

а) при переходе от функций углов + , - , + , - к функциям угла исходная функция изменяет название на кофункцию;

при переходе от функций углов + , - , 2 + , 2 - к функциям угла название функции сохраняют;

б) перед полученной функцией ставят такой знак, какой имеет приводимая функция в исходной четверти, считая угол острым.

Третья серия – формулы сложения - получается при изучении поворотов.

sin ( + ) = sin cos + sin cos

sin ( - ) = sin cos - sin cos

cos( + ) =cos cos - sin sin

cos( - ) =cos cos + sin sin

Формулы сложения являются одними из основных формул, связывающих тригонометрические функции. Из них можно вывести различные следствия. Так, полагая = , получаем формулы удвоения. Применяя основное тригонометрическое тождество к преобразованию косинуса двойного угла, получаем формулы, используемые для понижения степени синуса или косинуса:

1+ cos2 = 2 cos

1- cos2 = 2 sin .

Используя правые части этих формул, легко вывести формулы для выражения тангенса половинного угла через синус и косинус.

Из формул двойных углов можно вывести формулы для синуса и косинуса половинного угла, но такие формулы часто неудобны, так как они содержат радикалы и при определении знака функции необходимо знать, в какой четверти лежит искомый угол.

Обилие тригонометрических формул связано с тем, что между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом и тангенсом – есть соотношения, позволяющие по-разному написать одно и то же выражение. Оказывается, все тригонометрические функции от аргумента x выражаются через тангенс половинного угла рационально, без квадратных корней:

sin x = ,

cos x = .

tg x = .

При использовании этих формул необходимо учитывать область определения дробей и функций.

Пользуясь этими формулами, можно функцию вида у = a sinx+ b cosx + c представить в виде рациональной функции от tg , что, в частности, может быть удобным при решении уравнений вида a sinx+ b cosx + c = 0.

Формулы сложения синусов и косинусов:

sin + sin = 2 sin cos ;

sin - sin = 2 sin cos ;.

cos + cos = 2 cos cos ;

cos + cos = 2 sin sin .

Формулы для преобразования произведений синуса и косинуса в сумму получаются из формул сложения синусов и косинусов:

sin x cos y = (sin(x+y) + sin(x-y)),

sin x sin y = - (cos(x+y) + cos(x-y)),

cos x cos y = (cos(x+y) + cos(x-y)).

Формирование навыков тождественных преобразований тригонометрических выражений требует специальной тренировки, которая осуществляется с помощью достаточно большого числа упражнений.

Кроме названных формул, для тождественного преобразования тригонометрических выражений используется весь изученный ранее математический аппарат: способы разложения на множители, применение формул сокращенного умножения и т.д.

Несмотря на обилие формул, прослеживание взаимосвязей между ними, последовательности их выведения, выполнение большого числа тренировочных упражнений позволяют приобрести устойчивые навыки в их применении.