Выборочные (эмпирические) числовые характеристики. Выборочное среднее и выборочная дисперсия

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Пусть – выборка объема из генеральной совокупности, имеющей неизвестную . ЧХ с.в. называется теоретическими и в общем случае определяется как при различном выборе функции . Пусть – ЭФР, соответсвующая выборке . Как отмечалось ранее является обычной ФР ДСВ :

где – различные значения среди , – относительная частота .

ЧХ с.в. называется выборочными или эмпирическими ЧХ, т.е. это величины, определяемые формулой:

.

Таким образом, ВЧХ , соответствующая теоретической ЧХ есть среднее арифметических значений функции для элементов . В частности, если , то – выборочный начальный момент -го порядка. При , называется выборочным средним: . Если , то величина – выборочный центральный момент -го порядка. При : – выборочная дисперсия: – (аналог ).

Между выборочными начальными и центр моментами существуют те же соотношение, что и с теоретическими:

,

,

,

Замечание. Все ВЧХ, рассчитанные по заданной выборке, являются числами, но они могут изменяться от выборки к выборке и притом случайным образом, чем принципиально и отличаются от теоретических ЧХ. Поэтому при изучении вероятностных свойств ВЧХ их следует рассмотреть на с.в., получаемые заменой – копии . Используемые обозначения:

Имеет смысл говорить ЗР ВЧХ,… Далее получим: .

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\