Уравнения Бернулли

Определение. Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение первого порядка вида

, (10)

где (при уравнение (10) является линейным, а при – уравнением с разделяющимися переменными).

Так же как и линейное уравнение, уравнение Бернулли можно проинтегрировать с помощью подстановки или свести к линейному уравнению с помощью подстановки .

Пример 10. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение Бернулли с . Решим это уравнение методом Бернулли. Полагая , получаем:

,

. (11)

Функцию выбираем так, чтобы – это уравнение с разделяющимися переменными. Имеем:

отсюда – некоторое частное решение.

Подставим найденную функцию в уравнение (11), получим:

, или

– это уравнение с разделяющимися переменными относительно функции

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

,

, или

.

Учитывая, что , получим общий интеграл заданного дифференциального уравнения:

.