Однородные уравнения

Определение. Функция называется однородной функцией -го порядка относительно переменных и , если для неё выполняется равенство: .

Например: а) – однородная функция второго порядка, так как ;

б) не является однородной функцией, так как .

Порядок однородной функции может быть и нулевым, т.е.

.

Однородную функцию нулевого порядка всегда можно представить как функцию, аргументом которой является отношение , т.е. .

Определение. Дифференциальное уравнение вида

называется однородным уравнением первого порядка, если и – однородные функции одного и того же порядка.

Обычно однородные уравнения разрешают относительно производной и записывают в виде:

. (4)

Уравнение (4) сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение является однородным вида :

Положим , тогда , . Подставляя в данное уравнение, получим:

, отсюда

,

т.е. получили уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные:

Интегрируем обе части последнего равенства:

,

.

Учитывая, что , получаем:

, или

– общий интеграл данного дифференциального уравнения.