Уравнения, допускающие понижение порядка

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений n- го порядка, допускающие понижение порядка.

I. Уравнения вида . Общее решение получается путём n- кратного интегрирования

,

где .

Пример 12. Найти общее решение уравнения и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Интегрируя первый раз, получаем:

.

Повторное интегрирование даёт:

.

– общее решение дифференциального уравнения.

Подставив теперь в полученное общее решение и выражение для первой производной начальные условия, получим систему двух уравнений с неизвестными :

Решив эту систему, найдём значения параметров . Следовательно, искомое частное решение имеет вид:

.

II. Уравнения вида , не содержащие явно искомой функции и её производных до порядка включительно. С помощью замены порядок уравнения понижается на k единиц: .

Пример 13. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Данное уравнение не содержит и . Положим , тогда , и уравнение принимает вид:

,

или

.

Это линейное уравнение первого порядка относительно функции . Решаем его методом Бернулли, т.е. делаем подстановку , :

Выбираем функцию так, чтобы – это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получим:

.

Тогда

Учитывая, что , получаем:

Вспоминая, что , имеем:

.

Последовательно проинтегрировав 2 раза, найдём общее решение заданного дифференциального уравнения:

.

Используя начальное условие , получаем . Начальное условие позволяет определить , а из условия следует, что . Итак, искомое частное решение есть .

III. Уравнения вида , не содержащие явно независимой переменной . Подстановкой и т.д. порядок уравнения понижается на единицу.

Пример 14. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Положим . Тогда уравнение преобразуется к виду:

.

Приведя подобные и сократив на (при этом следует учесть теряемое решение , или ), получим:

.

Положив здесь , придём к уравнению

.

Сократив на z (при этом следует учесть ещё одно решение , т.е. ), получим:

,

откуда

,

или

.

Интегрируя последнее уравнение, находим:

или

.

Окончательно получим: – общее решение исходного дифференциального уравнения. Заметим, что в общее решение входят найденные ранее частные решения.

IV. Уравнение вида , однородное относительно функции и её производных, т.е. такое, что . Подстановкой порядок уравнения понижается на единицу.

Пример 15. Найти общее решение уравнения .

Решение. Легко убедиться, что данное уравнение является однородным относительно функции у и её производных.

Положим . Тогда и уравнение принимает вид:

.

Сокращая на (при этом получается решение ), находим:

,

или

,

, откуда

.

Так как , то приходим к уравнению

,

или

, откуда

,

.

Это и есть общее решение, которое содержит и частное решение .