Уравнения с разделяющимися переменными. Определение.Дифференциальноеуравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальноеуравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:

, (3)

т.е. правая часть уравнения есть произведение двух функций, одна из которых зависит только от переменной , а вторая – только от .

В дифференциальной форме записи уравнение с разделяющимися переменными выглядит следующим образом:

Разделим обе части уравнения (3) на и домножим на , получим:

.

Проинтегрируем обе части последнего равенства:

отсюда

где – первообразная для функции ;

– первообразная для функции .

Таким образом, есть общий интеграл дифференциального уравнения (3).

Уравнения вида

приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Разделив обе части уравнения на , имеем

.

Интегрируем:

,

, отсюда

– общее решение данного дифференциального уравнения.

Пусть теперь , т.е. . Непосредственной подстановкой убеждаемся, что – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым, так как его можно получить из общего решения при .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными, если положить .

Имеем:

Одно решение последнего уравнения очевидно: . Находим остальные его решения:

Разделяем переменные:

, .

Решение можно получить из последнего соотношения при , поэтому ,

Окончательно

_, или

– общее решение дифференциального уравнения.