Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Определение. Дифференциальноеуравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:
, (3)
т.е. правая часть уравнения есть произведение двух функций, одна из которых зависит только от переменной , а вторая – только от .
В дифференциальной форме записи уравнение с разделяющимися переменными выглядит следующим образом:
Разделим обе части уравнения (3) на и домножим на , получим:
.
Проинтегрируем обе части последнего равенства:
отсюда
где – первообразная для функции ;
– первообразная для функции .
Таким образом, есть общий интеграл дифференциального уравнения (3).
Уравнения вида
приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Разделив обе части уравнения на , имеем
.
Интегрируем:
,
, отсюда
– общее решение данного дифференциального уравнения.
Пусть теперь , т.е. . Непосредственной подстановкой убеждаемся, что – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым, так как его можно получить из общего решения при .
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. Данное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными, если положить .
Имеем:
Одно решение последнего уравнения очевидно: . Находим остальные его решения:
Разделяем переменные:
, .
Решение можно получить из последнего соотношения при , поэтому ,
Окончательно
, или
– общее решение дифференциального уравнения.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 173 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!