Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

(19)

где – постоянные коэффициенты (числа).

Квадратное уравнение

(20)

называется характеристическим уравнением для уравнения (19) и получается из уравнения (19) путём замены производных на степени .

Для составления общего решения дифференциального уравнения (19) необходимо найти корни и соответствующего характеристического уравнения (20) и применить следующую теорему:

Теорема 5. Пусть и – корни характеристического уравнения для уравнения (19). Тогда общее решение уравнения (19) находится по одной из следующих формул:

1) Если и – действительные и , то

;

2) Если и – действительные и , то

;

3) Если – комплексно-сопряжённые корни , то

Пример 17. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составляем характеристическое уравнение:

.

Вычисляем дискриминант и корни квадратного уравнения:

.

Запишем фундаментальную систему решений: . Следовательно, общее решение имеет вид:

.

Пример 18. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составляем характеристическое уравнение:

.

Находим дискриминант и корни квадратного уравнения:

Следовательно, функции составляют ФСР, а общее решение имеет вид:

.

Пример 19. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составляем х арактеристическое уравнение: .

Находим дискриминант и корни квадратного уравнения:

Запишем фундаментальную систему решений: . Следовательно, общее решение имеет вид:

.