Линейные уравнения

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит и в первой степени, т.е. имеет вид:

(6)

При уравнение (6) примет вид:

и называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными, а его общее решение имеет вид

,

где – произвольная постоянная, а – одна из первообразных функции .

Интегрирование линейного неоднородного уравнения (6) можно провести методом Бернулли.

Положим , тогда . Подставляя выражения для и в уравнение (6), получим:

.

Перенесём слагаемое в левую часть и сгруппируем с , вынося в качестве общего множителя:

. (7)

Согласно методу Бернулли функцию выбирают так, чтобы . Интегрируем уравнение с разделяющимися переменными:

и выбираем какое-либо его частное решение . Подставляя найденную функцию в уравнение (7), получаем уравнение с разделяющимися переменными относительно функции :

,

, тогда

,

т.е. находим общее решение этого уравнения .

Учитывая, что , получаем общее решение уравнения (6):

.

Пример 8. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным.

Решим это уравнение методом Бернулли. Сделаем подстановку: . Имеем:

,

. (8)

Функцию выберем так, чтобы

, отсюда

.

Интегрируя обе части последнего равенства, получаем:

,

.

Подставим найденную функцию в уравнение (8), получим:

,

.

Вспоминая, что окончательно получаем общее решение данного дифференциального уравнения:

.

Пример 9. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию

Решение. Относительно это уравнение не является линейным. Перепишем уравнение в виде

.

Это уравнение линейно относительно функции и её производной :

.

Решим его методом Бернулли: . Имеем:

,

. (9)

Решаем уравнение с разделяющимися переменными и находим его частное решение: .

Подставим найденную функцию в равенство (9), получим:

.

Учитывая, что получим общее решение уравнения

.

Найдём частное решение, используя заданное начальное условие , т.е. :

.

Тогда частное решение имеет вид: