С этой целью воспользуемся уравнением импульсов

Предположим, что отходящие частицы жидкости в момент отсоединения имеют скорость, отличную от скорости основного потока и разную в различных точках его поперечного сечения. Допустим также, что поток в целом будет установившимся и отвечающим условиям плавно изменяющегося движения. Очевидно, что при соблюдении этих условий:

; ; и .

где - скорость отходящих частиц;

и - скорость и давление основного потока в той же точке;

- расход основного потока.

Но при рассматриваемом неравномерном движении все его параметры являются функцией расстояния . Тогда выделим в данном потоке сечениями 1 и 2 некоторую его массу (рис. 4.1).

Приращение количества движения выделенной массы за время определяется согласно гл. 3 по формуле

(4.1)

В данном случае через сечение 1 проходит расход , через сечение 1-2 расход и через сечение 2 расход .

Очевидно, что

(4.1)

где - расход, отсоединяемый от основного потока на участке от входного сечения 1 до выходного сечения 2.

Итак, в соответствии со схемой (см. рис. 4.10) можем записать

(4.2)

где , , - соответствующие скорости;

- угол между направлением отделившейся массы и направлением скорости основного потока.

Очевидно, что так как , где - приращение расхода основного потока (положительное приращение по пути отводящего потока равно убыли расход основного потока, т.е. отрицательному его приращению),

,

с учетом чего

(4.3)

Схема перемещения выделенной массы в случае присоединения расхода показана на рис. 4.2. Согласно этой схеме

(4.4)

Но

и так как в этом случае приращение присоединенной массы представляет собой приращение массы основного потока

то

и тогда уравнение приращения количества движения получит вид

(4.6)

что тождественно уравнению (4.3).

Таким образом, уравнение (4.6) [или (4.3)] будет общим для случаев как отделения, так и присоединения массы. При этом знак второго слагаемого правой части уравнения определяется знаком величины .

Перейдем к рассмотрению импульсов сил (рис. 4.3).

Действующими силами будут: 1) силы тяжести ; 2) силы давления на торцевые сечения и ; 3) силы бокового давления (на боковую поверхность выделенного объема) и 4) касательные силы, действующие по боковой поверхности (реакция твердых стенок). Таким образом,

Вычислим эти силы и их проекции:

сила тяжести в проекции на ось движения 0-0 равна:

.

силы давления на торцевые сечения:

;

Проекция силы давления на криволинейную боковую поверхность в заданном направлении равна давлению жидкости на проекцию самой поверхности на плоскость, перпендикулярную этому направлению.

Следовательно,

Силы реакции твердых стенок (сила сопротивления – сила трения), направленные по касательной к поверхности, равны:

Итак, сумма импульсов действующих сил

(4.7)

Итак, с учетом приведенных выкладок и сокращения обеих частей равенства на уравнение импульсов запишется в виде

(4.8)

Заметив, что параметры с индексом 1 есть величины постоянные, а также, что , можем, опуская индекс 2, переписать уравнение (4.9) после перегруппировки слагаемых в следующем виде:

(4.9)

или в дифференциальной форме

(4.10)