Теорема о среднем для определенного интеграла

Если f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то существует точка , такая что .
Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда . Число заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка , такая что .
Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если непрерывна на отрезке [ a, b ], то существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [ a, b ] и высотой f (c) (на рисунке выделен цветом).